【分析】
解题时首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，由BO是等腰△ABC底边AC的中线，得到BO⊥AC，同时算出OC、BC的长度；再根据中心对称的性质，得到△PQC和△BOC的对应边、对应角相等，进而推出A、C、Q三点共线，∠AQP为直角，同时得到PQ、CQ的长度；最后先后在Rt△BOC和Rt△AQP中用勾股定理计算，即可求出AP的长。
【解析】
∵ BO是等腰△ABC底边AC的中线，
∴ BO⊥AC，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×2=1$，AB=BC=4。
∵ △PQC与△BOC关于点C中心对称，
∴ CP=CB=4，PQ=BO，∠PQC=∠BOC=90°，CQ=CO=1。
∴ 点A、C、Q在同一直线上，
∴ AQ=AC+CQ=2+1=3，∠AQP=90°。
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{BC^2 - OC^2}=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{15}$，
∴ $PQ=\sqrt{15}$。
在Rt△AQP中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AQ^2 + PQ^2}=\sqrt{3^2 + (\sqrt{15})^2}=\sqrt{9+15}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
等腰三角形的性质、中心对称的性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合计算题，解题关键是利用等腰三角形和中心对称的性质转化线段与角的关系，构造出可计算的直角三角形，考查了对基础几何性质的综合运用能力和计算能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题首先要明确轴对称图形与中心对称图形的判断标准：轴对称图形的判断核心是存在一条直线，沿该直线折叠后图形两部分可完全重合；中心对称图形的判断核心是绕图形中心旋转180°后能与自身重合。解题时我们只需按照这两个标准，对四个选项逐一判断，筛选出同时满足两个条件的选项即可。
【解析】
结合轴对称图形、中心对称图形的定义逐一判断：
1. 选项A：绕中心旋转180°后可与自身重合，是中心对称图形，但不存在能使图形沿直线折叠后完全重合的对称轴，不是轴对称图形，不符合要求；
2. 选项B：沿过中心和最上方菱形顶点的直线折叠后可完全重合，是轴对称图形，但绕中心旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，不符合要求；
3. 选项C：存在多条对称轴，沿任意一条对称轴折叠图形都可完全重合，是轴对称图形；绕图形中心旋转180°后能与自身完全重合，也是中心对称图形，符合要求；
4. 选项D：绕中心旋转180°后可与自身重合，是中心对称图形，但不存在能使图形沿直线折叠后完全重合的对称轴，不是轴对称图形，不符合要求。
综上，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形，中心对称图形
【点评】
本题是基础的概念辨析类题型，主要考查对两种对称图形定义的理解与区分，解题的关键是牢记两类图形的判断规则，避免混淆两种对称的判断标准。
【难度系数】
0.8

【分析】
矩形是中心对称图形，经过其对称中心的直线一定可以将矩形的面积分为相等的两部分，因此本题的解题思路是：首先根据矩形的边长求出矩形对称中心（对角线交点）的坐标，再将该点坐标代入直线$y=2x+b$，即可求出$b$的值。
【解析】
已知矩形OABC中，$OA=6$，$OC=8$，可得各顶点坐标：$O(0,0)$，$A(0,6)$，$C(8,0)$，$B(8,6)$。
矩形的对称中心为对角线OB的中点，根据中点坐标公式可得中点坐标为$(\frac{0+8}{2},\frac{0+6}{2})$，即$(4,3)$。
因为直线$y=2x+b$平分矩形面积，所以点$(4,3)$在该直线上，将坐标代入直线方程得：
$3=2×4 + b$
解得$b=3-8=-5$。
【答案】
B
【知识点】
中心对称图形性质，矩形的性质，一次函数图象特征
【点评】
本题是一次函数与矩形性质的综合基础题，解题的核心是掌握“过中心对称图形的对称中心的直线平分图形面积”这一结论，再结合一次函数上点的坐标满足函数解析式即可快速求解。
【难度系数】
0.7