3. 为更好地开展劳动教育课程，学校计划在一块$□ OABC$空地（如图）内修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）。有两个要求：①经过边$BC$上一点$P$；②分成面积相等的两部分。小路除经过点$P$外，还经过（）。
A.点$A$
B.$OA$的中点
C.$OB$的中点
D.边$AB$上的$H$点，且$AH=CP$
A.点$A$
B.$OA$的中点
C.$OB$的中点
D.边$AB$上的$H$点，且$AH=CP$
答案：C
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先回忆平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形。而要把中心对称图形分成面积相等的两部分，所作直线必须经过图形的对称中心。我们先找到平行四边形OABC的对称中心，再结合小路过点P的要求，就能确定小路还经过的点。
【解析】
∵四边形OABC是平行四边形，平行四边形属于中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点，即对角线OB的中点（平行四边形对角线互相平分，OB与AC的交点就是OB的中点）。
根据中心对称图形的性质：经过中心对称图形对称中心的任意直线，都能将图形分成面积相等的两个部分。
题目要求小路过点P且将OABC分成面积相等的两部分，因此这条小路所在直线必定经过平行四边形的对称中心，也就是OB的中点。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，中心对称图形的性质
【点评】
本题结合实际场景考查中心对称图形的性质应用，解题的核心是理解并运用“过中心对称图形对称中心的直线可将图形分为面积相等的两部分”这一结论，属于对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形。而要把中心对称图形分成面积相等的两部分，所作直线必须经过图形的对称中心。我们先找到平行四边形OABC的对称中心，再结合小路过点P的要求，就能确定小路还经过的点。
【解析】
∵四边形OABC是平行四边形，平行四边形属于中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点，即对角线OB的中点（平行四边形对角线互相平分，OB与AC的交点就是OB的中点）。
根据中心对称图形的性质：经过中心对称图形对称中心的任意直线，都能将图形分成面积相等的两个部分。
题目要求小路过点P且将OABC分成面积相等的两部分，因此这条小路所在直线必定经过平行四边形的对称中心，也就是OB的中点。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，中心对称图形的性质
【点评】
本题结合实际场景考查中心对称图形的性质应用，解题的核心是理解并运用“过中心对称图形对称中心的直线可将图形分为面积相等的两部分”这一结论，属于对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
4. 如图，直线EF经过$□ ABCD$的对角线的交点O. 若$AE=3\ \mathrm{cm}$，四边形AEFB的面积为$15\ \mathrm{cm}^2$，则$CF=$，四边形EDCF的面积为.
（第4题）
（第4题）答案：$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$；$\boldsymbol{15\ \mathrm{cm}^2}$
解析：
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的相关性质：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。①求CF的长度：AE和CF是关于对称中心O的对应线段，根据中心对称的性质，对应线段相等，即可推出CF=AE；②求四边形EDCF的面积：过中心对称图形对称中心的直线，会将图形分成面积相等的两部分，因此两个四边形的面积相等，代入已知数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线交于点O，
∴平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O。
根据中心对称的性质，△AOE与△COF关于点O中心对称，
∴CF=AE=3 cm。
又
∵直线EF经过对称中心O，
∴直线EF将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴$S_{\mathrm{四边形}EDCF} = S_{\mathrm{四边形}AEFB} = 15\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$3\ \mathrm{cm}$；$15\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质，中心对称的性质
【点评】
本题考查平行四边形中心对称性的应用，解题关键是明确过平行四边形对角线交点的直线可平分平行四边形的面积，且对应线段相等，掌握该性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的相关性质：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。①求CF的长度：AE和CF是关于对称中心O的对应线段，根据中心对称的性质，对应线段相等，即可推出CF=AE；②求四边形EDCF的面积：过中心对称图形对称中心的直线，会将图形分成面积相等的两部分，因此两个四边形的面积相等，代入已知数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线交于点O，
∴平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O。
根据中心对称的性质，△AOE与△COF关于点O中心对称，
∴CF=AE=3 cm。
又
∵直线EF经过对称中心O，
∴直线EF将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴$S_{\mathrm{四边形}EDCF} = S_{\mathrm{四边形}AEFB} = 15\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$3\ \mathrm{cm}$；$15\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的性质，中心对称的性质
【点评】
本题考查平行四边形中心对称性的应用，解题关键是明确过平行四边形对角线交点的直线可平分平行四边形的面积，且对应线段相等，掌握该性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分. 当菱形的两条对角线的长分别为6和18时，求阴影部分的面积.
答案：解：
∵ 菱形的两条对角线长分别为6和18，
∴ 菱形的面积为 $\frac{1}{2} × 6 × 18 = 54$。
∵ 菱形是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心，
∴ 阴影部分的面积等于菱形面积的$\frac{1}{2}$，
∴ 阴影部分的面积为 $\frac{1}{2} × 54 = 27$。
答：阴影部分的面积为27。
∵ 菱形的两条对角线长分别为6和18，
∴ 菱形的面积为 $\frac{1}{2} × 6 × 18 = 54$。
∵ 菱形是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心，
∴ 阴影部分的面积等于菱形面积的$\frac{1}{2}$，
∴ 阴影部分的面积为 $\frac{1}{2} × 54 = 27$。
答：阴影部分的面积为27。
解析：
【分析】
解题时首先明确菱形的面积计算方法：菱形的面积等于对角线乘积的一半，先据此求出菱形的总面积；再利用菱形是中心对称图形的性质，其对角线交点O为对称中心，过对称中心的直线分割出的相对区域面积相等，因此所有阴影部分的总面积恰好等于菱形面积的一半，代入数值计算即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵ 菱形的两条对角线长分别为6和18，
∴ 菱形的面积为 $\frac{1}{2} × 6 × 18 = 54$。
∵ 菱形是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心，
∴ 阴影部分的面积等于菱形面积的$\frac{1}{2}$，
∴ 阴影部分的面积为 $\frac{1}{2} × 54 = 27$。
【答案】
27
【知识点】
1.菱形面积计算
2.中心对称图形性质
3.割补法求面积
【点评】
本题考查几何图形面积的巧算，利用中心对称的性质将分散的不规则阴影面积转化为规则菱形面积的一半，避免了逐个计算阴影块面积的繁琐，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确菱形的面积计算方法：菱形的面积等于对角线乘积的一半，先据此求出菱形的总面积；再利用菱形是中心对称图形的性质，其对角线交点O为对称中心，过对称中心的直线分割出的相对区域面积相等，因此所有阴影部分的总面积恰好等于菱形面积的一半，代入数值计算即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵ 菱形的两条对角线长分别为6和18，
∴ 菱形的面积为 $\frac{1}{2} × 6 × 18 = 54$。
∵ 菱形是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心，
∴ 阴影部分的面积等于菱形面积的$\frac{1}{2}$，
∴ 阴影部分的面积为 $\frac{1}{2} × 54 = 27$。
【答案】
27
【知识点】
1.菱形面积计算
2.中心对称图形性质
3.割补法求面积
【点评】
本题考查几何图形面积的巧算，利用中心对称的性质将分散的不规则阴影面积转化为规则菱形面积的一半，避免了逐个计算阴影块面积的繁琐，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7