4. 如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，点A在y轴上，点B的坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为。
答案：解：由网格与点B(4,4)可得点A坐标为(0,4)，点C坐标为(6,2)。
根据圆的性质，圆弧所在圆的圆心是弦AB、弦BC的垂直平分线的交点。
弦AB的端点为A(0,4)、B(4,4)，AB平行于x轴，AB的中点为(2,4)，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$。
设圆心坐标为$(2, m)$，由同圆半径相等，圆心到点A和点C的距离相等，得：
$\sqrt{(2-0)^2 + (m-4)^2} = \sqrt{(2-6)^2 + (m-2)^2}$
两边平方化简：
$4 + (m-4)^2 = 16 + (m-2)^2$
$4 + m^2 -8m +16 = 16 + m^2 -4m +4$
解得$m=0$。
验证可知点(2,0)到A、B、C三点的距离相等，均为该圆半径。
故该圆弧所在圆的圆心坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$。
根据圆的性质，圆弧所在圆的圆心是弦AB、弦BC的垂直平分线的交点。
弦AB的端点为A(0,4)、B(4,4)，AB平行于x轴，AB的中点为(2,4)，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$。
设圆心坐标为$(2, m)$，由同圆半径相等，圆心到点A和点C的距离相等，得：
$\sqrt{(2-0)^2 + (m-4)^2} = \sqrt{(2-6)^2 + (m-2)^2}$
两边平方化简：
$4 + (m-4)^2 = 16 + (m-2)^2$
$4 + m^2 -8m +16 = 16 + m^2 -4m +4$
解得$m=0$。
验证可知点(2,0)到A、B、C三点的距离相等，均为该圆半径。
故该圆弧所在圆的圆心坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$。
解析：
【分析】
要确定圆弧所在圆的圆心，首先回忆圆的核心性质：圆心到圆上所有点的距离相等，且圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。首先结合网格和已知的B点坐标(4,4)，确定A、C两点的坐标；观察弦AB的特征，A、B纵坐标相同，AB为水平线段，它的垂直平分线是过AB中点的竖直线，可直接得到圆心的横坐标；再设圆心的纵坐标为m，利用圆心到A、C两点距离相等列方程求解，即可得到完整的圆心坐标。
【解析】
1. 确定各点坐标：根据网格特征和点B(4,4)，可得点A坐标为$(0,4)$，点C坐标为$(6,2)$。
2. 求弦AB的垂直平分线：弦AB的端点为$A(0,4)$、$B(4,4)$，AB平行于x轴，其中点坐标为$(2,4)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$，即圆心的横坐标为2。
3. 列方程求解纵坐标：设圆心坐标为$(2, m)$，由同圆半径相等，圆心到点A和点C的距离相等，根据两点间距离公式可得：
$\sqrt{(2-0)^2 + (m-4)^2} = \sqrt{(2-6)^2 + (m-2)^2}$
4. 化简解方程：
两边同时平方得：$4 + (m-4)^2 = 16 + (m-2)^2$
展开得：$4 + m^2 -8m +16 = 16 + m^2 -4m +4$
整理得：$-4m=0$，解得$m=0$。
5. 验证：点$(2,0)$到A、B、C三点的距离均为$2\sqrt{5}$，符合圆心到圆上各点距离相等的性质。
【答案】
$\boldsymbol{(2,0)}$
【知识点】
圆的基本性质，垂直平分线的性质，两点间距离公式
【点评】
本题是网格背景下确定圆心坐标的典型题，解题关键是利用弦的垂直平分线过圆心的性质快速缩小圆心的位置范围，再结合距离公式列方程求解，需要学生具备准确读取网格点坐标的能力。
【难度系数】
0.7
要确定圆弧所在圆的圆心，首先回忆圆的核心性质：圆心到圆上所有点的距离相等，且圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。首先结合网格和已知的B点坐标(4,4)，确定A、C两点的坐标；观察弦AB的特征，A、B纵坐标相同，AB为水平线段，它的垂直平分线是过AB中点的竖直线，可直接得到圆心的横坐标；再设圆心的纵坐标为m，利用圆心到A、C两点距离相等列方程求解，即可得到完整的圆心坐标。
【解析】
1. 确定各点坐标：根据网格特征和点B(4,4)，可得点A坐标为$(0,4)$，点C坐标为$(6,2)$。
2. 求弦AB的垂直平分线：弦AB的端点为$A(0,4)$、$B(4,4)$，AB平行于x轴，其中点坐标为$(2,4)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$，即圆心的横坐标为2。
3. 列方程求解纵坐标：设圆心坐标为$(2, m)$，由同圆半径相等，圆心到点A和点C的距离相等，根据两点间距离公式可得：
$\sqrt{(2-0)^2 + (m-4)^2} = \sqrt{(2-6)^2 + (m-2)^2}$
4. 化简解方程：
两边同时平方得：$4 + (m-4)^2 = 16 + (m-2)^2$
展开得：$4 + m^2 -8m +16 = 16 + m^2 -4m +4$
整理得：$-4m=0$，解得$m=0$。
5. 验证：点$(2,0)$到A、B、C三点的距离均为$2\sqrt{5}$，符合圆心到圆上各点距离相等的性质。
【答案】
$\boldsymbol{(2,0)}$
【知识点】
圆的基本性质，垂直平分线的性质，两点间距离公式
【点评】
本题是网格背景下确定圆心坐标的典型题，解题关键是利用弦的垂直平分线过圆心的性质快速缩小圆心的位置范围，再结合距离公式列方程求解，需要学生具备准确读取网格点坐标的能力。
【难度系数】
0.7
5. 用反证法说明：两条不重合的直线AB，CD相交只有一个交点.
答案：证明：假设两条不重合的直线AB，CD相交不止一个交点，则两条直线至少有两个不同的交点，设这两个交点为P、Q。
根据“两点确定一条直线”的基本事实，经过P、Q两点的直线有且只有一条。
但此时直线AB、CD是都经过P、Q的两条不重合直线，这与“两点确定一条直线”的基本事实矛盾。
因此假设不成立，两条不重合的直线AB，CD相交只有一个交点。
根据“两点确定一条直线”的基本事实，经过P、Q两点的直线有且只有一条。
但此时直线AB、CD是都经过P、Q的两条不重合直线，这与“两点确定一条直线”的基本事实矛盾。
因此假设不成立，两条不重合的直线AB，CD相交只有一个交点。
解析：
【分析】
本题按照反证法的三步逻辑求解即可：第一步反设，否定原命题的结论，即假设两条不重合的直线AB、CD相交不止一个交点；第二步归谬，从假设出发，结合“两点确定一条直线”的基本事实推导，得出与已知基本事实矛盾的结论；第三步存真，由矛盾判定假设不成立，从而证明原命题正确。
【解析】
证明：假设两条不重合的直线AB，CD相交不止一个交点，则两条直线至少有两个不同的交点，设这两个交点为P、Q。
根据“两点确定一条直线”的基本事实，经过P、Q两点的直线有且只有一条。
但此时直线AB、CD是都经过P、Q的两条不重合直线，这与“两点确定一条直线”的基本事实矛盾。
因此假设不成立，故两条不重合的直线AB，CD相交只有一个交点。
【答案】
证明：假设两条不重合的直线AB，CD相交不止一个交点，则两条直线至少有两个不同的交点，设这两个交点为P、Q。
根据“两点确定一条直线”的基本事实，经过P、Q两点的直线有且只有一条。
但此时直线AB、CD是都经过P、Q的两条不重合直线，这与“两点确定一条直线”的基本事实矛盾。
因此假设不成立，两条不重合的直线AB，CD相交只有一个交点。
【知识点】
反证法；两点确定一条直线
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是掌握反证法的基本步骤，反设要准确否定原命题的结论，推导过程需结合已学公理、定理推出矛盾，是理解反证法逻辑的典型练习题。
【难度系数】
0.8
本题按照反证法的三步逻辑求解即可：第一步反设，否定原命题的结论，即假设两条不重合的直线AB、CD相交不止一个交点；第二步归谬，从假设出发，结合“两点确定一条直线”的基本事实推导，得出与已知基本事实矛盾的结论；第三步存真，由矛盾判定假设不成立，从而证明原命题正确。
【解析】
证明：假设两条不重合的直线AB，CD相交不止一个交点，则两条直线至少有两个不同的交点，设这两个交点为P、Q。
根据“两点确定一条直线”的基本事实，经过P、Q两点的直线有且只有一条。
但此时直线AB、CD是都经过P、Q的两条不重合直线，这与“两点确定一条直线”的基本事实矛盾。
因此假设不成立，故两条不重合的直线AB，CD相交只有一个交点。
【答案】
证明：假设两条不重合的直线AB，CD相交不止一个交点，则两条直线至少有两个不同的交点，设这两个交点为P、Q。
根据“两点确定一条直线”的基本事实，经过P、Q两点的直线有且只有一条。
但此时直线AB、CD是都经过P、Q的两条不重合直线，这与“两点确定一条直线”的基本事实矛盾。
因此假设不成立，两条不重合的直线AB，CD相交只有一个交点。
【知识点】
反证法；两点确定一条直线
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是掌握反证法的基本步骤，反设要准确否定原命题的结论，推导过程需结合已学公理、定理推出矛盾，是理解反证法逻辑的典型练习题。
【难度系数】
0.8
1. 下列说法正确的是（）.
A.直径是圆的对称轴
B.经过圆心的直线是圆的对称轴
C.与圆相交的直线是圆的对称轴
D.与半径垂直的直线是圆的对称轴
A.直径是圆的对称轴
B.经过圆心的直线是圆的对称轴
C.与圆相交的直线是圆的对称轴
D.与半径垂直的直线是圆的对称轴
答案：B
解析：
【分析】
要解决这道题，首先要明确两个核心概念：一是对称轴的本质是直线，不是线段或射线；二是圆的轴对称性特征，即能让圆对折后完全重合的直线必须经过圆心。解题时先紧扣这两个概念，再逐一判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
根据圆的轴对称性可知：圆是轴对称图形，其对称轴是能使圆沿直线对折后两边完全重合的直线，且这类直线必须经过圆心。
选项A：直径是线段，而对称轴是直线，二者概念不符，因此A错误；
选项B：经过圆心的任意一条直线，沿直线对折后圆的两部分都能完全重合，符合圆的对称轴的定义，因此B正确；
选项C：与圆相交的直线不一定经过圆心，对折后圆的两部分不一定重合，因此C错误；
选项D：与半径垂直的直线如果不经过圆心，就无法使圆对折后完全重合，不是圆的对称轴，因此D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆的轴对称性 2. 对称轴的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易混淆直径（线段）和对称轴（直线）的概念，解题时只要抓住“圆的对称轴是过圆心的直线”这一核心要点，就能快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确两个核心概念：一是对称轴的本质是直线，不是线段或射线；二是圆的轴对称性特征，即能让圆对折后完全重合的直线必须经过圆心。解题时先紧扣这两个概念，再逐一判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
根据圆的轴对称性可知：圆是轴对称图形，其对称轴是能使圆沿直线对折后两边完全重合的直线，且这类直线必须经过圆心。
选项A：直径是线段，而对称轴是直线，二者概念不符，因此A错误；
选项B：经过圆心的任意一条直线，沿直线对折后圆的两部分都能完全重合，符合圆的对称轴的定义，因此B正确；
选项C：与圆相交的直线不一定经过圆心，对折后圆的两部分不一定重合，因此C错误；
选项D：与半径垂直的直线如果不经过圆心，就无法使圆对折后完全重合，不是圆的对称轴，因此D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆的轴对称性 2. 对称轴的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易混淆直径（线段）和对称轴（直线）的概念，解题时只要抓住“圆的对称轴是过圆心的直线”这一核心要点，就能快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8