4. 如图，AB为$\odot O$的直径，AD为$\odot O$的切线，A为切点，BD交$\odot O$于点C，$∠ CAD=50°$，则$∠ B$的度数为。
（第4题）（第5题）
（第4题）（第5题）
答案：$\boldsymbol{50°}$
解析：
【分析】
解题时首先结合已知条件联想对应的性质：1. 看到切线AD和切点A，优先想到切线的性质，可得AD垂直于直径AB，得到∠DAB=90°，进而推出∠CAD与∠CAB互余；2. 看到直径AB，联想到直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，即△ACB是直角三角形，∠CAB与∠B互余；最后根据同角的余角相等，即可得出∠B的度数等于∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵AD是⊙O的切线，A为切点，AB为⊙O的直径
∴AD⊥AB（切线垂直于过切点的半径）
∴∠DAB=90°，即$∠ CAD + ∠ CAB = 90°$
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）
在$Rt△ ACB$中，$∠ CAB + ∠ B = 90°$
∴$∠ B=∠ CAD$（同角的余角相等）
∵$∠ CAD=50°$
∴$∠ B=50°$
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；余角的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，将切线性质、圆周角定理与角度互余关系结合考查，解题关键是准确提取题干条件对应性质，通过互余关系推导角的等量关系，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件联想对应的性质：1. 看到切线AD和切点A，优先想到切线的性质，可得AD垂直于直径AB，得到∠DAB=90°，进而推出∠CAD与∠CAB互余；2. 看到直径AB，联想到直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，即△ACB是直角三角形，∠CAB与∠B互余；最后根据同角的余角相等，即可得出∠B的度数等于∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵AD是⊙O的切线，A为切点，AB为⊙O的直径
∴AD⊥AB（切线垂直于过切点的半径）
∴∠DAB=90°，即$∠ CAD + ∠ CAB = 90°$
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）
在$Rt△ ACB$中，$∠ CAB + ∠ B = 90°$
∴$∠ B=∠ CAD$（同角的余角相等）
∵$∠ CAD=50°$
∴$∠ B=50°$
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；余角的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，将切线性质、圆周角定理与角度互余关系结合考查，解题关键是准确提取题干条件对应性质，通过互余关系推导角的等量关系，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 如图，PC是$\odot O$的直径，PA与$\odot O$相切于点P，AO交$\odot O$于点B，连接BC. 若$∠ C=32°$，求$∠ A$的度数.
答案：解：
∵ PA与⊙O相切于点P，
∴ PA⊥PC，即∠APO=90°。
∵ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠C=32°，
∴ ∠AOP=∠C+∠OBC=2×32°=64°。
在Rt△APO中，∠A=90°-∠AOP=90°-64°=26°。
∵ PA与⊙O相切于点P，
∴ PA⊥PC，即∠APO=90°。
∵ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠C=32°，
∴ ∠AOP=∠C+∠OBC=2×32°=64°。
在Rt△APO中，∠A=90°-∠AOP=90°-64°=26°。
解析：
【分析】
解题思路如下：首先看到PA是圆的切线，根据切线性质可得到直角∠APO，此时要求∠A，只需要求出Rt△APO中另一个锐角∠AOP的度数即可；接着观察∠AOP是△OBC的外角，且OB、OC都是圆的半径，二者相等，因此△OBC是等腰三角形，可得∠OBC=∠C；最后利用三角形外角的性质算出∠AOP的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠A。
【解析】
∵ PA与$\odot O$相切于点P，
∴ PA⊥PC，即$∠ APO=90°$。
∵ OB=OC（均为$\odot O$的半径），
∴ $∠ OBC=∠ C=32°$，
∵ $∠ AOP$是$△ OBC$的外角，
∴ $∠ AOP=∠ C+∠ OBC=2×32°=64°$。
在$\mathrm{Rt}△ APO$中，$∠ A+∠ AOP=90°$，
∴ $∠ A=90°-∠ AOP=90°-64°=26°$。
【答案】
$26°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆相关的基础计算题，将圆的性质和三角形基础性质结合考查，解题的关键是先通过切线性质构造直角三角形，再结合等腰三角形、外角的性质逐步推导，是圆章节的高频基础考点，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先看到PA是圆的切线，根据切线性质可得到直角∠APO，此时要求∠A，只需要求出Rt△APO中另一个锐角∠AOP的度数即可；接着观察∠AOP是△OBC的外角，且OB、OC都是圆的半径，二者相等，因此△OBC是等腰三角形，可得∠OBC=∠C；最后利用三角形外角的性质算出∠AOP的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠A。
【解析】
∵ PA与$\odot O$相切于点P，
∴ PA⊥PC，即$∠ APO=90°$。
∵ OB=OC（均为$\odot O$的半径），
∴ $∠ OBC=∠ C=32°$，
∵ $∠ AOP$是$△ OBC$的外角，
∴ $∠ AOP=∠ C+∠ OBC=2×32°=64°$。
在$\mathrm{Rt}△ APO$中，$∠ A+∠ AOP=90°$，
∴ $∠ A=90°-∠ AOP=90°-64°=26°$。
【答案】
$26°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆相关的基础计算题，将圆的性质和三角形基础性质结合考查，解题的关键是先通过切线性质构造直角三角形，再结合等腰三角形、外角的性质逐步推导，是圆章节的高频基础考点，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1. 如图，AB，AC，BD是$\odot O$的切线，切点分别是P，C，D。若$AB=10$，$AC=6$，则$BD$的长是（）。
A.6
B.5
C.4
D.7
A.6
B.5
C.4
D.7
答案：C
解析：
【分析】
本题可利用切线长定理解题：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。首先由点A向$\odot O$引的两条切线AC、AP，可得AC=AP，求出AP的长度；再用AB的长度减去AP得到BP的长度，最后根据点B向$\odot O$引的两条切线BP、BD长度相等，即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵AC、AP都是$\odot O$的切线，切点分别为C、P，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴$AC = AP = 6$，
∵$AB = 10$，
∴$PB = AB - AP = 10 - 6 = 4$，
又
∵BP、BD都是$\odot O$的切线，切点分别为P、D，
同理可得$BD = PB = 4$。
因此BD的长为4。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的核心是找准从同一圆外点引出的两条切线，对应切线长相等，掌握定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题可利用切线长定理解题：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。首先由点A向$\odot O$引的两条切线AC、AP，可得AC=AP，求出AP的长度；再用AB的长度减去AP得到BP的长度，最后根据点B向$\odot O$引的两条切线BP、BD长度相等，即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵AC、AP都是$\odot O$的切线，切点分别为C、P，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴$AC = AP = 6$，
∵$AB = 10$，
∴$PB = AB - AP = 10 - 6 = 4$，
又
∵BP、BD都是$\odot O$的切线，切点分别为P、D，
同理可得$BD = PB = 4$。
因此BD的长为4。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的核心是找准从同一圆外点引出的两条切线，对应切线长相等，掌握定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 如图，以正方形ABCD的边AB为直径作半圆O，过点C作直线与半圆相切于点F，交边AD于点E. 若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为（）.
A.15
B.14
C.13
D.12
A.15
B.14
C.13
D.12
答案：B
解析：
【分析】
解题首先利用切线长定理得到相等的线段，先结合△CDE的周长求出正方形的边长，再利用勾股定理求出AE的长度，最后计算直角梯形ABCE的周长即可。步骤如下：1. 设正方形边长为a，AE长为x，根据切线长定理可得AE=EF，BC=CF，将△CDE的周长转化为正方形边长的3倍，求出边长a；2. 在Rt△CDE中用勾股定理列方程求出x的值；3. 代入计算梯形ABCE的各边长度和即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，$AE=x$，则$ED=a-x$。
∵AB是半圆O的直径，$AD⊥AB$，$BC⊥AB$，
∴AD、BC都是半圆O的切线，
又
∵CE与半圆O相切于F，根据切线长定理：
$AE=EF=x$，$BC=CF=a$，
∴$CE=EF+CF=x+a$。
已知△CDE的周长为12，即$ED+CD+CE=12$，
代入得：$(a-x)+a+(x+a)=3a=12$，解得$a=4$，即正方形边长为4。
∴$ED=4-x$，$CE=4+x$，$CD=4$，在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$ED^2 + CD^2 = CE^2$，即$(4-x)^2 + 4^2 = (4+x)^2$，
展开：$16 - 8x + x^2 + 16 = 16 + 8x + x^2$，
化简得：$16x=16$，解得$x=1$，即$AE=1$，$CE=4+1=5$。
直角梯形ABCE的周长$=AB+BC+CE+EA=4+4+5+1=14$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题解题的关键是利用切线长定理将未知线段进行等量转化，先求出正方形的边长，再结合勾股定理求出未知线段长度，属于切线性质与正方形性质结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题首先利用切线长定理得到相等的线段，先结合△CDE的周长求出正方形的边长，再利用勾股定理求出AE的长度，最后计算直角梯形ABCE的周长即可。步骤如下：1. 设正方形边长为a，AE长为x，根据切线长定理可得AE=EF，BC=CF，将△CDE的周长转化为正方形边长的3倍，求出边长a；2. 在Rt△CDE中用勾股定理列方程求出x的值；3. 代入计算梯形ABCE的各边长度和即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，$AE=x$，则$ED=a-x$。
∵AB是半圆O的直径，$AD⊥AB$，$BC⊥AB$，
∴AD、BC都是半圆O的切线，
又
∵CE与半圆O相切于F，根据切线长定理：
$AE=EF=x$，$BC=CF=a$，
∴$CE=EF+CF=x+a$。
已知△CDE的周长为12，即$ED+CD+CE=12$，
代入得：$(a-x)+a+(x+a)=3a=12$，解得$a=4$，即正方形边长为4。
∴$ED=4-x$，$CE=4+x$，$CD=4$，在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$ED^2 + CD^2 = CE^2$，即$(4-x)^2 + 4^2 = (4+x)^2$，
展开：$16 - 8x + x^2 + 16 = 16 + 8x + x^2$，
化简得：$16x=16$，解得$x=1$，即$AE=1$，$CE=4+1=5$。
直角梯形ABCE的周长$=AB+BC+CE+EA=4+4+5+1=14$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题解题的关键是利用切线长定理将未知线段进行等量转化，先求出正方形的边长，再结合勾股定理求出未知线段长度，属于切线性质与正方形性质结合的典型题型。
【难度系数】
0.7