3. 如图，PA，PB为$\odot O$的两条切线，CD与$\odot O$相切于点E，分别交PA，PB于点C，D. F为$\odot O$上的点，连接AF，BF. 若$PA=5$，$∠ P=40°$，则$△ PCD$的周长和$∠ AFB$的度数分别为（）.
A.$10$，$40°$
B.$10$，$80°$
C.$10$，$70°$
D.$15$，$70°$
A.$10$，$40°$
B.$10$，$80°$
C.$10$，$70°$
D.$15$，$70°$
答案：C
解析：
【分析】
解题分为两部分：①求△PCD的周长：题目存在多条圆的切线，优先用切线长定理，先得到PA=PB，再得到CA=CE、DB=DE，将△PCD的周长线段拆分替换，转化为PA+PB即可计算。②求∠AFB的度数：先根据切线的性质得到OA⊥PA、OB⊥PB，结合四边形内角和求出弧AB对应的圆心角∠AOB，再利用同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可求出∠AFB的度数。
【解析】
1. 计算△PCD的周长：
∵PA、PB为$\odot O$的切线，切点分别为A、B
∴由切线长定理得：$PA=PB=5$
又
∵CD与$\odot O$相切于点E
∴由切线长定理得：$CA=CE$，$DB=DE$
$\begin{aligned}∴△ PCD的周长&=PC+CD+PD\\&=PC+CE+ED+PD\\&=PC+CA+DB+PD\\&=PA+PB=5+5=10\end{aligned}$
2. 计算∠AFB的度数：
连接OA、OB
∵PA、PB是$\odot O$的切线
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
四边形OAPB内角和为$360°$，则：
$\begin{aligned}∠ AOB&=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P\\&=360°-90°-90°-40°=140°\end{aligned}$
∵∠AFB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
∴由圆周角定理得：$∠ AFB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$
综上，△PCD的周长为10，∠AFB为$70°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，圆周角定理，切线的性质
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，解题核心是熟练运用切线长定理做线段转化，结合圆周角定理求角度，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题分为两部分：①求△PCD的周长：题目存在多条圆的切线，优先用切线长定理，先得到PA=PB，再得到CA=CE、DB=DE，将△PCD的周长线段拆分替换，转化为PA+PB即可计算。②求∠AFB的度数：先根据切线的性质得到OA⊥PA、OB⊥PB，结合四边形内角和求出弧AB对应的圆心角∠AOB，再利用同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可求出∠AFB的度数。
【解析】
1. 计算△PCD的周长：
∵PA、PB为$\odot O$的切线，切点分别为A、B
∴由切线长定理得：$PA=PB=5$
又
∵CD与$\odot O$相切于点E
∴由切线长定理得：$CA=CE$，$DB=DE$
$\begin{aligned}∴△ PCD的周长&=PC+CD+PD\\&=PC+CE+ED+PD\\&=PC+CA+DB+PD\\&=PA+PB=5+5=10\end{aligned}$
2. 计算∠AFB的度数：
连接OA、OB
∵PA、PB是$\odot O$的切线
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
四边形OAPB内角和为$360°$，则：
$\begin{aligned}∠ AOB&=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P\\&=360°-90°-90°-40°=140°\end{aligned}$
∵∠AFB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
∴由圆周角定理得：$∠ AFB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$
综上，△PCD的周长为10，∠AFB为$70°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，圆周角定理，切线的性质
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，解题核心是熟练运用切线长定理做线段转化，结合圆周角定理求角度，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E. 若AB=15，BC=17，则AD的长为.
答案：$\boldsymbol{9}$
解析：
【分析】
首先明确扇形BAF的圆心为点B，半径AB=15。第一步，根据切线性质，AD与弧AF相切于A，可得BA⊥AD，结合AD//BC，推出∠ABC=90°；CD与弧AF相切于E，可得BE⊥CD且BE=AB=15，再通过HL证明Rt△ABD≌Rt△EBD，得到AD=DE。第二步，在Rt△BEC中利用勾股定理算出CE=√(BC²-BE²)=8，因此CD=DE+CE=AD+8。第三步，过D作DH⊥BC于H，构造矩形ABHD，得AD=BH、DH=AB=15，HC=BC-AD=17-AD，最后在Rt△DHC中用勾股定理列方程即可求出AD的长度。
【解析】
解：连接BD、BE，过点D作DH⊥BC于点H。
∵ 弧AF是扇形BAF的弧，圆心为B，AD、CD分别与弧AF相切于A、E，
∴ BA⊥AD，BE⊥CD，且BA=BE=15。
∵ AD//BC，BA⊥AD，
∴ BA⊥BC，即∠A=∠ABC=∠BHD=90°，
∴ 四边形ABHD是矩形，
∴ AD=BH，DH=AB=15，
∴ HC=BC - BH = 17 - AD。
在Rt△ABD和Rt△EBD中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ BA=BE\end{array} $
∴ Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴ AD=DE。
在Rt△BEC中，BC=17，BE=15，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2 - BE^2}=\sqrt{17^2 -15^2}=\sqrt{64}=8$，
∴ CD=DE + CE = AD + 8。
在Rt△DHC中，由勾股定理得：
$CD^2=DH^2 + HC^2$
代入得：$(AD + 8)^2=15^2 + (17 - AD)^2$
展开计算：
$AD^2 + 16AD + 64 = 225 + 289 - 34AD + AD^2$
消去$AD^2$，移项合并同类项得：
$50AD=450$
解得：$AD=9$。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆与四边形结合的综合题，解题的关键是合理连接辅助线，利用切线性质和全等三角形得到线段相等关系，再构造直角三角形用勾股定理列方程求解，能很好地考查学生的逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.6
首先明确扇形BAF的圆心为点B，半径AB=15。第一步，根据切线性质，AD与弧AF相切于A，可得BA⊥AD，结合AD//BC，推出∠ABC=90°；CD与弧AF相切于E，可得BE⊥CD且BE=AB=15，再通过HL证明Rt△ABD≌Rt△EBD，得到AD=DE。第二步，在Rt△BEC中利用勾股定理算出CE=√(BC²-BE²)=8，因此CD=DE+CE=AD+8。第三步，过D作DH⊥BC于H，构造矩形ABHD，得AD=BH、DH=AB=15，HC=BC-AD=17-AD，最后在Rt△DHC中用勾股定理列方程即可求出AD的长度。
【解析】
解：连接BD、BE，过点D作DH⊥BC于点H。
∵ 弧AF是扇形BAF的弧，圆心为B，AD、CD分别与弧AF相切于A、E，
∴ BA⊥AD，BE⊥CD，且BA=BE=15。
∵ AD//BC，BA⊥AD，
∴ BA⊥BC，即∠A=∠ABC=∠BHD=90°，
∴ 四边形ABHD是矩形，
∴ AD=BH，DH=AB=15，
∴ HC=BC - BH = 17 - AD。
在Rt△ABD和Rt△EBD中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ BA=BE\end{array} $
∴ Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴ AD=DE。
在Rt△BEC中，BC=17，BE=15，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2 - BE^2}=\sqrt{17^2 -15^2}=\sqrt{64}=8$，
∴ CD=DE + CE = AD + 8。
在Rt△DHC中，由勾股定理得：
$CD^2=DH^2 + HC^2$
代入得：$(AD + 8)^2=15^2 + (17 - AD)^2$
展开计算：
$AD^2 + 16AD + 64 = 225 + 289 - 34AD + AD^2$
消去$AD^2$，移项合并同类项得：
$50AD=450$
解得：$AD=9$。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆与四边形结合的综合题，解题的关键是合理连接辅助线，利用切线性质和全等三角形得到线段相等关系，再构造直角三角形用勾股定理列方程求解，能很好地考查学生的逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图，EA，ED为$\odot O$的切线，切点分别为A，D，点B，C在$\odot O$上. 若$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，求$∠ E$的度数.
答案：解：
连接AD。
∵ EA，ED为⊙O的切线，
∴ EA = ED，
∴ ∠EAD = ∠EDA。
∵ 点A，B，C，D都在⊙O上，
∴ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°。
由∠BAE = ∠BAD + ∠EAD，代入已知条件∠BAE + ∠BCD = 236°，得：
∠BAD + ∠EAD + ∠BCD = 236°，
即 180° + ∠EAD = 236°，
解得 ∠EAD = 56°，
∴ ∠EDA = ∠EAD = 56°。
在△EAD中，
∠E = 180° - ∠EAD - ∠EDA = 180° - 56°×2 = 68°。
答：∠E的度数为68°。
连接AD。
∵ EA，ED为⊙O的切线，
∴ EA = ED，
∴ ∠EAD = ∠EDA。
∵ 点A，B，C，D都在⊙O上，
∴ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°。
由∠BAE = ∠BAD + ∠EAD，代入已知条件∠BAE + ∠BCD = 236°，得：
∠BAD + ∠EAD + ∠BCD = 236°，
即 180° + ∠EAD = 236°，
解得 ∠EAD = 56°，
∴ ∠EDA = ∠EAD = 56°。
在△EAD中，
∠E = 180° - ∠EAD - ∠EDA = 180° - 56°×2 = 68°。
答：∠E的度数为68°。
解析：
【分析】
要求∠E的度数，可先分析∠E所在的△EAD的特征：已知EA、ED是⊙O的切线，根据切线长定理可得EA=ED，即△EAD为等腰三角形，只需求出底角∠EAD的度数，再结合三角形内角和即可求出∠E。再看已知条件∠BAE+∠BCD=236°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补可得∠BAD+∠BCD=180°；而∠BAE=∠BAD+∠EAD，将其代入已知的角度和等式，即可消去∠BAD和∠BCD，直接求出∠EAD的度数，进而完成求解。
【解析】
连接AD。
∵ EA，ED为⊙O的切线，
∴ EA = ED，
∴ ∠EAD = ∠EDA。
∵ 点A，B，C，D都在⊙O上，
∴ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°。
由∠BAE = ∠BAD + ∠EAD，代入已知条件∠BAE + ∠BCD = 236°，得：
∠BAD + ∠EAD + ∠BCD = 236°，
即 180° + ∠EAD = 236°，
解得 ∠EAD = 56°，
∴ ∠EDA = ∠EAD = 56°。
在△EAD中，
∠E = 180° - ∠EAD - ∠EDA = 180° - 56°×2 = 68°。
【答案】
68°
【知识点】
切线长定理；圆内接四边形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线AD，结合圆的相关性质梳理清楚各角之间的数量关系，能够帮助学生巩固切线、圆内接四边形以及三角形的相关基础知识点。
【难度系数】
0.7
要求∠E的度数，可先分析∠E所在的△EAD的特征：已知EA、ED是⊙O的切线，根据切线长定理可得EA=ED，即△EAD为等腰三角形，只需求出底角∠EAD的度数，再结合三角形内角和即可求出∠E。再看已知条件∠BAE+∠BCD=236°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补可得∠BAD+∠BCD=180°；而∠BAE=∠BAD+∠EAD，将其代入已知的角度和等式，即可消去∠BAD和∠BCD，直接求出∠EAD的度数，进而完成求解。
【解析】
连接AD。
∵ EA，ED为⊙O的切线，
∴ EA = ED，
∴ ∠EAD = ∠EDA。
∵ 点A，B，C，D都在⊙O上，
∴ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°。
由∠BAE = ∠BAD + ∠EAD，代入已知条件∠BAE + ∠BCD = 236°，得：
∠BAD + ∠EAD + ∠BCD = 236°，
即 180° + ∠EAD = 236°，
解得 ∠EAD = 56°，
∴ ∠EDA = ∠EAD = 56°。
在△EAD中，
∠E = 180° - ∠EAD - ∠EDA = 180° - 56°×2 = 68°。
【答案】
68°
【知识点】
切线长定理；圆内接四边形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线AD，结合圆的相关性质梳理清楚各角之间的数量关系，能够帮助学生巩固切线、圆内接四边形以及三角形的相关基础知识点。
【难度系数】
0.7