2. 如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，连接AC，则$∠ BAC$的度数为（）.
A.$30°$
B.$34°$
C.$36°$
D.$45°$
A.$30°$
B.$34°$
C.$36°$
D.$45°$
答案：C
解析：
【分析】
要计算∠BAC的度数，有两种常见解题思路：思路一，先利用正多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数，再结合正五边形各边相等得到△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质计算∠BAC；思路二，根据正五边形内接于圆，各边所对的弧相等，先求出弧BC的度数，再利用圆周角定理直接计算∠BAC的度数。
【解析】
方法1：
正五边形的内角和为$(5-2)× 180° = 540°$，因此每个内角的度数为$540° ÷ 5 = 108°$，即$∠ ABC = 108°$。
因为正五边形各边长度相等，所以$AB=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，$∠ BAC = ∠ BCA$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC = \frac{180° - ∠ ABC}{2} = \frac{180° - 108°}{2} = 36°$。
方法2：
正五边形内接于$\odot O$，它的各边将圆周平均分为5等份，每份弧的度数为$360° ÷ 5 = 72°$，即弧$BC$的度数为$72°$。
$∠ BAC$是弧$BC$所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，因此$∠ BAC = \frac{1}{2} × 72° = 36°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆模块的基础题型，解题可选方法灵活，既可以从多边形内角维度推导，也可以结合圆的相关性质求解，能够有效考查学生对基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
要计算∠BAC的度数，有两种常见解题思路：思路一，先利用正多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数，再结合正五边形各边相等得到△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质计算∠BAC；思路二，根据正五边形内接于圆，各边所对的弧相等，先求出弧BC的度数，再利用圆周角定理直接计算∠BAC的度数。
【解析】
方法1：
正五边形的内角和为$(5-2)× 180° = 540°$，因此每个内角的度数为$540° ÷ 5 = 108°$，即$∠ ABC = 108°$。
因为正五边形各边长度相等，所以$AB=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，$∠ BAC = ∠ BCA$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC = \frac{180° - ∠ ABC}{2} = \frac{180° - 108°}{2} = 36°$。
方法2：
正五边形内接于$\odot O$，它的各边将圆周平均分为5等份，每份弧的度数为$360° ÷ 5 = 72°$，即弧$BC$的度数为$72°$。
$∠ BAC$是弧$BC$所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，因此$∠ BAC = \frac{1}{2} × 72° = 36°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆模块的基础题型，解题可选方法灵活，既可以从多边形内角维度推导，也可以结合圆的相关性质求解，能够有效考查学生对基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
3. 如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，半径为4，顶点A，D在x轴上，则顶点F的坐标为（）.
A.$(2, 2\sqrt{3})$
B.$(-2, 2)$
C.$(-1, \sqrt{3})$
D.$(-2, 2\sqrt{3})$
A.$(2, 2\sqrt{3})$
B.$(-2, 2)$
C.$(-1, \sqrt{3})$
D.$(-2, 2\sqrt{3})$
答案：D
解析：
【分析】
要确定顶点F的坐标，可结合正六边形的性质分析：正六边形的外接圆半径等于边长，每个中心角为60°。首先连接OF，可得OF=4，∠AOF=60°，点F位于第二象限，因此过F作x轴的垂线，利用等边三角形性质求出F点横、纵坐标的绝对值，再结合象限符号即可得到F的坐标。
【解析】
连接OF，
∵正六边形ABCDEF的中心为原点O，外接圆半径为4，
∴OF=OA=4，正六边形的中心角∠AOF=360°÷6=60°，
∴△AOF是等边三角形，边长为4。
过点F作FG⊥x轴于点G，根据等边三角形三线合一的性质，G为OA的中点，
∴OG=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×4=2，
由勾股定理可得等边三角形AOF的高FG=$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∵点F在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点F的坐标为$(-2, 2\sqrt{3})$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，坐标与图形性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与平面直角坐标系结合的基础题，解题的关键是掌握正六边形的边长等于外接圆半径、中心角为60°的性质，结合等边三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要确定顶点F的坐标，可结合正六边形的性质分析：正六边形的外接圆半径等于边长，每个中心角为60°。首先连接OF，可得OF=4，∠AOF=60°，点F位于第二象限，因此过F作x轴的垂线，利用等边三角形性质求出F点横、纵坐标的绝对值，再结合象限符号即可得到F的坐标。
【解析】
连接OF，
∵正六边形ABCDEF的中心为原点O，外接圆半径为4，
∴OF=OA=4，正六边形的中心角∠AOF=360°÷6=60°，
∴△AOF是等边三角形，边长为4。
过点F作FG⊥x轴于点G，根据等边三角形三线合一的性质，G为OA的中点，
∴OG=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×4=2，
由勾股定理可得等边三角形AOF的高FG=$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∵点F在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点F的坐标为$(-2, 2\sqrt{3})$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，坐标与图形性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与平面直角坐标系结合的基础题，解题的关键是掌握正六边形的边长等于外接圆半径、中心角为60°的性质，结合等边三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图（1），蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用，而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形. 如图（2），一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8 mm，则正六边形ABCDEF的边长约为（）.
A.2 mm
B.$2\sqrt{2}$ mm
C.$2\sqrt{3}$ mm
D.4 mm
A.2 mm
B.$2\sqrt{2}$ mm
C.$2\sqrt{3}$ mm
D.4 mm
答案：D
解析：
【分析】
要解决这道题，首先回忆正六边形的相关性质：正六边形的外接圆半径与它的边长相等，且正六边形中过相对两个顶点的对角线就是外接圆的直径。我们可以先找到正六边形的外接圆圆心，通过中心角判断等边三角形，进而得到对角线长度和边长的关系，代入数值即可求出边长。
【解析】
设正六边形ABCDEF的外接圆圆心为O，连接OA、OB、OD。
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ 中心角$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=360°÷6=60°$，且OA=OB=OD（外接圆半径相等），
∴ $△ AOB$、$△ COD$都是等边三角形，
∴ $OA=AB$，$OD=CD=AB$，
∴ 对角线$AD=OA+OD=2AB$，
已知$AD\approx8\mathrm{mm}$，代入得$AB=8÷2=4\mathrm{mm}$，即正六边形的边长约为4mm。
【答案】
D
【知识点】
正六边形的性质，等边三角形的判定，正多边形与圆
【点评】
本题结合生活中的蜂巢结构考查正六边形的性质，解题的关键是掌握正六边形的边长等于其外接圆半径、最长对角线长度为边长的2倍这两个核心结论，熟练掌握性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆正六边形的相关性质：正六边形的外接圆半径与它的边长相等，且正六边形中过相对两个顶点的对角线就是外接圆的直径。我们可以先找到正六边形的外接圆圆心，通过中心角判断等边三角形，进而得到对角线长度和边长的关系，代入数值即可求出边长。
【解析】
设正六边形ABCDEF的外接圆圆心为O，连接OA、OB、OD。
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ 中心角$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=360°÷6=60°$，且OA=OB=OD（外接圆半径相等），
∴ $△ AOB$、$△ COD$都是等边三角形，
∴ $OA=AB$，$OD=CD=AB$，
∴ 对角线$AD=OA+OD=2AB$，
已知$AD\approx8\mathrm{mm}$，代入得$AB=8÷2=4\mathrm{mm}$，即正六边形的边长约为4mm。
【答案】
D
【知识点】
正六边形的性质，等边三角形的判定，正多边形与圆
【点评】
本题结合生活中的蜂巢结构考查正六边形的性质，解题的关键是掌握正六边形的边长等于其外接圆半径、最长对角线长度为边长的2倍这两个核心结论，熟练掌握性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8