5. 如图，$\odot O$与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角$∠ BOD$的度数为。
答案：$\boldsymbol{144°}$
解析：
【分析】
解题思路分三步：第一步先利用正多边形内角公式计算正五边形每个内角的度数；第二步根据切线的性质，得到过切点的半径与切线垂直，即对应夹角为90°；第三步观察五边形ABODE的内角和，将已知角度代入内角和公式，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
1. 计算正五边形内角：
正n边形内角和为$(n-2)×180°$，正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，可得$∠ A=∠ E=108°$。
2. 应用切线性质：
因为AB、DE分别与$\odot O$相切于点B、D，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以$OB⊥ AB$，$OD⊥ DE$，即$∠ ABO=∠ EDO=90°$。
3. 求解$∠ BOD$：
五边形ABODE的内角和为$(5-2)×180°=540°$，代入角度关系：
$∠ A+∠ ABO+∠ BOD+∠ ODE+∠ E=540°$
将已知角度代入得：
$108°+90°+∠ BOD+90°+108°=540°$
解得$∠ BOD=540°-108°-90°-90°-108°=144°$。
【答案】
$\boldsymbol{144°}$
【知识点】
正多边形内角计算、切线的性质、多边形内角和
【点评】
本题是正多边形和圆的基础综合题，解题的关键是结合切线性质找到所求角所在多边形的角度关系，通过内角和公式计算即可，属于常规考点。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步先利用正多边形内角公式计算正五边形每个内角的度数；第二步根据切线的性质，得到过切点的半径与切线垂直，即对应夹角为90°；第三步观察五边形ABODE的内角和，将已知角度代入内角和公式，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
1. 计算正五边形内角：
正n边形内角和为$(n-2)×180°$，正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，可得$∠ A=∠ E=108°$。
2. 应用切线性质：
因为AB、DE分别与$\odot O$相切于点B、D，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以$OB⊥ AB$，$OD⊥ DE$，即$∠ ABO=∠ EDO=90°$。
3. 求解$∠ BOD$：
五边形ABODE的内角和为$(5-2)×180°=540°$，代入角度关系：
$∠ A+∠ ABO+∠ BOD+∠ ODE+∠ E=540°$
将已知角度代入得：
$108°+90°+∠ BOD+90°+108°=540°$
解得$∠ BOD=540°-108°-90°-90°-108°=144°$。
【答案】
$\boldsymbol{144°}$
【知识点】
正多边形内角计算、切线的性质、多边形内角和
【点评】
本题是正多边形和圆的基础综合题，解题的关键是结合切线性质找到所求角所在多边形的角度关系，通过内角和公式计算即可，属于常规考点。
【难度系数】
0.7
6. 如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$. 若$\odot O$的半径为6，求$△ ADE$的周长. 
(第6题)
(第6题)答案：解：
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为6，
∴ 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
即弧AB、弧BC、弧CD、弧DE、弧EF、弧FA的度数均为$60°$，
∴ 弧AD的度数为$60° × 3=180°$，
∴ AD是$\odot O$的直径，
∴ $AD=2×6=12$，且$∠ AED=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ 弧DE的度数为$60°$，
∴ $∠ DAE=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中：
$DE=\frac{1}{2}AD=6$，
$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{12^2 - 6^2}=6\sqrt{3}$，
∴ $△ ADE$的周长为$AD+DE+AE=12+6+6\sqrt{3}=18+6\sqrt{3}$。
答：$△ ADE$的周长为$18+6\sqrt{3}$。
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为6，
∴ 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
即弧AB、弧BC、弧CD、弧DE、弧EF、弧FA的度数均为$60°$，
∴ 弧AD的度数为$60° × 3=180°$，
∴ AD是$\odot O$的直径，
∴ $AD=2×6=12$，且$∠ AED=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ 弧DE的度数为$60°$，
∴ $∠ DAE=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中：
$DE=\frac{1}{2}AD=6$，
$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{12^2 - 6^2}=6\sqrt{3}$，
∴ $△ ADE$的周长为$AD+DE+AE=12+6+6\sqrt{3}=18+6\sqrt{3}$。
答：$△ ADE$的周长为$18+6\sqrt{3}$。
解析：
【分析】
要解本题，首先结合正六边形内接于圆的性质，先计算正六边形的中心角，判断AD为圆的直径；再依据直径所对圆周角为直角，确定△ADE是直角三角形；接着结合弧的度数与圆周角的关系求出∠DAE的度数，利用直角三角形30°角的性质和勾股定理算出三边长度，最后求和即可得到三角形周长。
【解析】
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为6，
∴ 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，即弧AB、弧BC、弧CD、弧DE、弧EF、弧FA的度数均为$60°$，
∴ 弧AD的度数为$60° × 3=180°$，
∴ AD是$\odot O$的直径，
∴ $AD=2×6=12$，且$∠ AED=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ 弧DE的度数为$60°$，
∴ $∠ DAE=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中：
$DE=\frac{1}{2}AD=6$，
$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{12^2 - 6^2}=6\sqrt{3}$，
∴ $△ ADE$的周长为$AD+DE+AE=12+6+6\sqrt{3}=18+6\sqrt{3}$。
【答案】
$18+6\sqrt{3}$
【知识点】
1. 正多边形内接圆性质
2. 圆周角定理
3. 直角三角形性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的常规题型，解题核心是先利用正六边形的中心角特征判定直径AD，再结合圆周角定理得到直角三角形，进而计算边长，注重对基础性质的应用和综合推导能力的考查。
【难度系数】
0.7
要解本题，首先结合正六边形内接于圆的性质，先计算正六边形的中心角，判断AD为圆的直径；再依据直径所对圆周角为直角，确定△ADE是直角三角形；接着结合弧的度数与圆周角的关系求出∠DAE的度数，利用直角三角形30°角的性质和勾股定理算出三边长度，最后求和即可得到三角形周长。
【解析】
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为6，
∴ 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，即弧AB、弧BC、弧CD、弧DE、弧EF、弧FA的度数均为$60°$，
∴ 弧AD的度数为$60° × 3=180°$，
∴ AD是$\odot O$的直径，
∴ $AD=2×6=12$，且$∠ AED=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ 弧DE的度数为$60°$，
∴ $∠ DAE=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中：
$DE=\frac{1}{2}AD=6$，
$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{12^2 - 6^2}=6\sqrt{3}$，
∴ $△ ADE$的周长为$AD+DE+AE=12+6+6\sqrt{3}=18+6\sqrt{3}$。
【答案】
$18+6\sqrt{3}$
【知识点】
1. 正多边形内接圆性质
2. 圆周角定理
3. 直角三角形性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的常规题型，解题核心是先利用正六边形的中心角特征判定直径AD，再结合圆周角定理得到直角三角形，进而计算边长，注重对基础性质的应用和综合推导能力的考查。
【难度系数】
0.7
1. 已知$\odot O$的直径为5，圆心$O$到直线$AB$的距离为5，则直线$AB$与$\odot O$的位置关系为（）.
A.相交
B.相切
C.相离
D.相交或相切
A.相交
B.相切
C.相离
D.相交或相切
答案：C
解析：
【分析】
解决本题的核心是掌握直线与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若d＜r，直线与圆相交；若d=r，直线与圆相切；若d＞r，直线与圆相离。解题时首先根据已知的圆直径算出半径，再提取圆心到直线AB的距离，最后比较两者大小，即可对应得出直线与圆的位置关系。
【解析】
解：已知⊙O的直径为5，因此⊙O的半径$r = \frac{5}{2} = 2.5$。
又已知圆心O到直线AB的距离$d = 5$，比较可得$d = 5 ＞ r = 2.5$。
根据直线与圆的位置关系判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离，因此直线AB与⊙O的位置关系为相离。
【答案】
C
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 圆的半径与直径的关系
【点评】
本题属于基础考题，主要考查直线与圆位置关系的判定方法，只要牢记判定规则，准确计算半径并对比距离和半径的大小，即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是掌握直线与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若d＜r，直线与圆相交；若d=r，直线与圆相切；若d＞r，直线与圆相离。解题时首先根据已知的圆直径算出半径，再提取圆心到直线AB的距离，最后比较两者大小，即可对应得出直线与圆的位置关系。
【解析】
解：已知⊙O的直径为5，因此⊙O的半径$r = \frac{5}{2} = 2.5$。
又已知圆心O到直线AB的距离$d = 5$，比较可得$d = 5 ＞ r = 2.5$。
根据直线与圆的位置关系判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离，因此直线AB与⊙O的位置关系为相离。
【答案】
C
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 圆的半径与直径的关系
【点评】
本题属于基础考题，主要考查直线与圆位置关系的判定方法，只要牢记判定规则，准确计算半径并对比距离和半径的大小，即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 下列正多边形中，中心角等于内角的是（）.
A.正六边形
B.正五边形
C.正四边形
D.正三角形
A.正六边形
B.正五边形
C.正四边形
D.正三角形
答案：C
解析：
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先明确正多边形中心角和内角的计算公式，再根据题目给出的“中心角等于内角”的等量关系列方程，求解出正多边形的边数，最后匹配对应选项即可。具体推导逻辑：1. 正n边形的中心角是将周角360°平均分为n份，因此中心角=$\frac{360°}{n}$；2. 正n边形的内角和为$(n-2)×180°$，因此单个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$；3. 令两个角度相等列方程，求出n的值即可对应选项。
【解析】
设该正多边形的边数为$n$。
正$n$边形的中心角为：$\frac{360°}{n}$
正$n$边形的每个内角为：$\frac{(n-2)×180°}{n}$
根据题意“中心角等于内角”，可列等式：
$\frac{360°}{n}=\frac{(n-2)×180°}{n}$
两边同时乘$n$（$n≠0$），得：
$360°=(n-2)×180°$
两边同时除以$180°$，得：
$2=n-2$
解得$n=4$，即该正多边形为正四边形。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形中心角计算、正多边形内角计算
【点评】
本题属于正多边形性质的基础应用题，核心考查对正多边形核心角度计算公式的掌握，只要牢记公式、准确建立等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先明确正多边形中心角和内角的计算公式，再根据题目给出的“中心角等于内角”的等量关系列方程，求解出正多边形的边数，最后匹配对应选项即可。具体推导逻辑：1. 正n边形的中心角是将周角360°平均分为n份，因此中心角=$\frac{360°}{n}$；2. 正n边形的内角和为$(n-2)×180°$，因此单个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$；3. 令两个角度相等列方程，求出n的值即可对应选项。
【解析】
设该正多边形的边数为$n$。
正$n$边形的中心角为：$\frac{360°}{n}$
正$n$边形的每个内角为：$\frac{(n-2)×180°}{n}$
根据题意“中心角等于内角”，可列等式：
$\frac{360°}{n}=\frac{(n-2)×180°}{n}$
两边同时乘$n$（$n≠0$），得：
$360°=(n-2)×180°$
两边同时除以$180°$，得：
$2=n-2$
解得$n=4$，即该正多边形为正四边形。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形中心角计算、正多边形内角计算
【点评】
本题属于正多边形性质的基础应用题，核心考查对正多边形核心角度计算公式的掌握，只要牢记公式、准确建立等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$O$在$AB$上，以点$O$为圆心，$OA$为半径的圆恰好与$BC$相切于点$D$，连接$AD$. 若$∠ BAC=60°$，$OB=6$，则$AC$的长为（）.
A.$6$
B.$4.5$
C.$3$
D.$2$
A.$6$
B.$4.5$
C.$3$
D.$2$
答案：B
解析：
【分析】
解题时首先结合切线的性质，连接圆心O和切点D，可得OD⊥BC；结合已知∠C=90°，可推出OD//AC，再结合Rt△ABC中∠BAC=60°，先求出∠B=30°。接下来在Rt△OBD中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出圆的半径OD，进而得到AB的长度，最后在Rt△ABC中再次利用30°角的直角三角形性质即可求出AC的长。
【解析】
连接OD，
∵ BC与⊙O相切于点D，
∴ OD⊥BC，即∠ODB=90°，
又
∵ ∠C=90°，
∴ OD//AC，
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴ ∠B=90°-∠BAC=30°，
在Rt△OBD中，∠B=30°，OB=6，
∴ $OD = \frac{1}{2} OB = \frac{1}{2}×6 = 3$，
∵ OA=OD=3，
∴ $AB=OB+OA=6+3=9$，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴ $AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2}×9 = 4.5$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础常考题，解题的突破口是连接圆心和切点构造直角三角形，再结合特殊直角三角形的边角关系即可快速求解，解题时注意熟记相关性质定理。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合切线的性质，连接圆心O和切点D，可得OD⊥BC；结合已知∠C=90°，可推出OD//AC，再结合Rt△ABC中∠BAC=60°，先求出∠B=30°。接下来在Rt△OBD中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出圆的半径OD，进而得到AB的长度，最后在Rt△ABC中再次利用30°角的直角三角形性质即可求出AC的长。
【解析】
连接OD，
∵ BC与⊙O相切于点D，
∴ OD⊥BC，即∠ODB=90°，
又
∵ ∠C=90°，
∴ OD//AC，
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴ ∠B=90°-∠BAC=30°，
在Rt△OBD中，∠B=30°，OB=6，
∴ $OD = \frac{1}{2} OB = \frac{1}{2}×6 = 3$，
∵ OA=OD=3，
∴ $AB=OB+OA=6+3=9$，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴ $AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2}×9 = 4.5$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础常考题，解题的突破口是连接圆心和切点构造直角三角形，再结合特殊直角三角形的边角关系即可快速求解，解题时注意熟记相关性质定理。
【难度系数】
0.7