4. 如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB分别与$\odot O$相切于点A，B，CD与$\odot O$相切于点E，分别交PA，PB于点C，D. 若$PA=5$，则$△ PCD$的周长为（）.
A.5
B.10
C.15
D.20
A.5
B.10
C.15
D.20
答案：B
解析：
【分析】
解决本题的核心是运用切线长定理进行等量代换：首先明确切线长定理的内容：从圆外一点到圆的两条切线的长度相等。首先观察图形，找到所有的切线对：P到圆的两条切线PA、PB，C到圆的两条切线CA、CE，D到圆的两条切线DB、DE，对应切线长相等。再将△PCD的周长拆分，通过等量代换转化为PA与PB的和，代入已知PA的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，
∴由切线长定理可得：$PA=PB=5$，
又
∵CD是⊙O的切线，切点为E，
同理可得：$CA=CE$，$DB=DE$，
△PCD的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PCD}&=PC+CD+PD\\&=PC+CE+DE+PD\\&=PC+CA+DB+PD\\&=(PC+CA)+(PD+DB)\\&=PA+PB\\&=5+5=10\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，解题的关键是找准相等的切线长，通过等量代换将未知周长转化为已知的切线长之和，无需单独计算各边长度即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是运用切线长定理进行等量代换：首先明确切线长定理的内容：从圆外一点到圆的两条切线的长度相等。首先观察图形，找到所有的切线对：P到圆的两条切线PA、PB，C到圆的两条切线CA、CE，D到圆的两条切线DB、DE，对应切线长相等。再将△PCD的周长拆分，通过等量代换转化为PA与PB的和，代入已知PA的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，
∴由切线长定理可得：$PA=PB=5$，
又
∵CD是⊙O的切线，切点为E，
同理可得：$CA=CE$，$DB=DE$，
△PCD的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PCD}&=PC+CD+PD\\&=PC+CE+DE+PD\\&=PC+CA+DB+PD\\&=(PC+CA)+(PD+DB)\\&=PA+PB\\&=5+5=10\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，解题的关键是找准相等的切线长，通过等量代换将未知周长转化为已知的切线长之和，无需单独计算各边长度即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图，PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，$∠ P=70°$，C为$\odot O$上一点，则$∠ ACB$的度数为。
答案：$\boldsymbol{125°}$
解析：
【分析】
解题时首先考虑切线相关问题的常用辅助线：连接圆心与切点，得到垂直关系。第一步连接OA、OB，利用切线性质可得OA⊥PA、OB⊥PB，即两个直角；再结合四边形内角和为360°，可求出劣弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；随后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，先求出优弧AB对应的圆心角，即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ P=70°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-70°=110°$。
∴优弧AB所对的圆心角为$360°-110°=250°$。
∵$∠ ACB$是优弧AB所对的圆周角，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}×250°=125°$。
【答案】
$\boldsymbol{125°}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础应用题，连接圆心和切点是解决切线类问题的常用辅助线方法，解题时要注意区分圆周角对应的是优弧还是劣弧，避免混淆圆心角的对应关系导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先考虑切线相关问题的常用辅助线：连接圆心与切点，得到垂直关系。第一步连接OA、OB，利用切线性质可得OA⊥PA、OB⊥PB，即两个直角；再结合四边形内角和为360°，可求出劣弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；随后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，先求出优弧AB对应的圆心角，即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ P=70°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-70°=110°$。
∴优弧AB所对的圆心角为$360°-110°=250°$。
∵$∠ ACB$是优弧AB所对的圆周角，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}×250°=125°$。
【答案】
$\boldsymbol{125°}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础应用题，连接圆心和切点是解决切线类问题的常用辅助线方法，解题时要注意区分圆周角对应的是优弧还是劣弧，避免混淆圆心角的对应关系导致计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 如图，五边形ABCDE为$\odot O$的内接正五边形，P为劣弧$\overset{\frown}{DE}$上的任意一点（不与D，E重合），则$∠ EPD$的度数为。
答案：$\boldsymbol{144°}$
解析：
【分析】
解题时先从圆内接正五边形的性质入手，正五边形将圆周平均分成5等份，可先求出每段劣弧的度数；再判断所求∠EPD是圆周角，找到它所对的弧是优弧$\overset{\frown}{DE}$，算出优弧$\overset{\frown}{DE}$的度数后，结合圆周角定理即可求出∠EPD的度数。
【解析】
∵五边形ABCDE是$\odot O$的内接正五边形，
∴正五边形的各边所对的劣弧长度相等，每段劣弧的度数为$360° ÷ 5=72°$，即劣弧$\overset{\frown}{DE}$的度数为$72°$，
∴优弧$\overset{\frown}{DE}$的度数为$360° -72°=288°$，
∵$∠ EPD$是圆周角，且所对的弧为优弧$\overset{\frown}{DE}$，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，
∴$∠ EPD=\frac{1}{2}×288°=144°$。
【答案】
$144°$
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 圆周角定理
【点评】
本题是基础类题型，核心是利用正多边形等分圆周的特点得到对应弧的度数，再结合圆周角定理求解，熟练掌握正多边形和圆的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时先从圆内接正五边形的性质入手，正五边形将圆周平均分成5等份，可先求出每段劣弧的度数；再判断所求∠EPD是圆周角，找到它所对的弧是优弧$\overset{\frown}{DE}$，算出优弧$\overset{\frown}{DE}$的度数后，结合圆周角定理即可求出∠EPD的度数。
【解析】
∵五边形ABCDE是$\odot O$的内接正五边形，
∴正五边形的各边所对的劣弧长度相等，每段劣弧的度数为$360° ÷ 5=72°$，即劣弧$\overset{\frown}{DE}$的度数为$72°$，
∴优弧$\overset{\frown}{DE}$的度数为$360° -72°=288°$，
∵$∠ EPD$是圆周角，且所对的弧为优弧$\overset{\frown}{DE}$，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，
∴$∠ EPD=\frac{1}{2}×288°=144°$。
【答案】
$144°$
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 圆周角定理
【点评】
本题是基础类题型，核心是利用正多边形等分圆周的特点得到对应弧的度数，再结合圆周角定理求解，熟练掌握正多边形和圆的相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
7. 如图，PA，PB为$\odot O$的切线，A，B为切点，AC为直径，$∠ BAC=35°$，则$∠ P$的度数为。
答案：$\boldsymbol{70°}$
解析：
【分析】
解题思路如下：1. 看到切线首先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得PA⊥OA，即∠PAC=90°，结合已知∠BAC=35°，可算出∠PAB的度数；2. 由PA、PB都是圆的切线，根据切线长定理可得PA=PB，即△PAB为等腰三角形，两个底角∠PAB=∠PBA；3. 最后利用三角形内角和为180°，即可求出∠P的度数。也可通过连接OB，利用四边形内角和求解，两种方法均适用。
【解析】
解：
∵PA是$\odot O$的切线，AC为$\odot O$的直径，
∴$PA⊥ OA$，即$∠ PAC=90°$，
∵$∠ BAC=35°$，
∴$∠ PAB=∠ PAC-∠ BAC=90°-35°=55°$，
又
∵PA、PB均为$\odot O$的切线，A、B为切点，
根据切线长定理可得$PA=PB$，
∴$∠ PAB=∠ PBA=55°$，
在$△ PAB$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ P=180°-∠ PAB-∠ PBA=180°-55°-55°=70°$。
【答案】
$\boldsymbol{70°}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握切线相关性质，结合等腰三角形的特征即可快速计算出结果，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 看到切线首先联想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得PA⊥OA，即∠PAC=90°，结合已知∠BAC=35°，可算出∠PAB的度数；2. 由PA、PB都是圆的切线，根据切线长定理可得PA=PB，即△PAB为等腰三角形，两个底角∠PAB=∠PBA；3. 最后利用三角形内角和为180°，即可求出∠P的度数。也可通过连接OB，利用四边形内角和求解，两种方法均适用。
【解析】
解：
∵PA是$\odot O$的切线，AC为$\odot O$的直径，
∴$PA⊥ OA$，即$∠ PAC=90°$，
∵$∠ BAC=35°$，
∴$∠ PAB=∠ PAC-∠ BAC=90°-35°=55°$，
又
∵PA、PB均为$\odot O$的切线，A、B为切点，
根据切线长定理可得$PA=PB$，
∴$∠ PAB=∠ PBA=55°$，
在$△ PAB$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ P=180°-∠ PAB-∠ PBA=180°-55°-55°=70°$。
【答案】
$\boldsymbol{70°}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握切线相关性质，结合等腰三角形的特征即可快速计算出结果，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7