3. 已知：$x^2 + y^2 -8x -10y +41=0$，求$\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$的值.
答案：3. $-\frac{9}{20}.$
解析：
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，观察已知的二元二次方程，符合配方的特征，我们可以将常数项41拆分为16和25，分别和x的二次项、一次项，y的二次项、一次项凑成完全平方公式；第二步，根据平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，即可求出x、y的具体值；第三步，先将要求的分式通分化简，再代入x、y的值计算结果即可。
【解析】
解：对已知等式配方：
$x^2 + y^2 -8x -10y +41=0$
整理得：$(x^2-8x+16)+(y^2-10y+25)=0$
即：$(x-4)^2+(y-5)^2=0$
∵$(x-4)^2≥0$，$(y-5)^2≥0$，两个非负数的和为0
∴$\begin{cases}x-4=0\\y-5=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4\\y=5\end{cases}$
对所求分式通分化简：
$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2}{xy}-\frac{y^2}{xy}=\frac{x^2-y^2}{xy}$
将$x=4$，$y=5$代入得：
原式$=\frac{4^2-5^2}{4×5}=\frac{16-25}{20}=-\frac{9}{20}$
【答案】
$-\frac{9}{20}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 非负数的性质
3. 分式的加减运算
【点评】
本题是基础综合题，将整式的配方、非负性的应用和分式运算结合考查，解题的核心是熟练掌握配方法的技巧，先求出未知字母的值再代入分式计算即可。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，观察已知的二元二次方程，符合配方的特征，我们可以将常数项41拆分为16和25，分别和x的二次项、一次项，y的二次项、一次项凑成完全平方公式；第二步，根据平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，即可求出x、y的具体值；第三步，先将要求的分式通分化简，再代入x、y的值计算结果即可。
【解析】
解：对已知等式配方：
$x^2 + y^2 -8x -10y +41=0$
整理得：$(x^2-8x+16)+(y^2-10y+25)=0$
即：$(x-4)^2+(y-5)^2=0$
∵$(x-4)^2≥0$，$(y-5)^2≥0$，两个非负数的和为0
∴$\begin{cases}x-4=0\\y-5=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4\\y=5\end{cases}$
对所求分式通分化简：
$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2}{xy}-\frac{y^2}{xy}=\frac{x^2-y^2}{xy}$
将$x=4$，$y=5$代入得：
原式$=\frac{4^2-5^2}{4×5}=\frac{16-25}{20}=-\frac{9}{20}$
【答案】
$-\frac{9}{20}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 非负数的性质
3. 分式的加减运算
【点评】
本题是基础综合题，将整式的配方、非负性的应用和分式运算结合考查，解题的核心是熟练掌握配方法的技巧，先求出未知字母的值再代入分式计算即可。
【难度系数】
0.7
4. 先化简，再选一个合适的$x$的值代入求值：$\dfrac{x+3}{x-2}÷(x+2-\dfrac{5}{x-2}).$
答案：4. 原式=$\frac{x+3}{x-2} ÷ \frac{(x+2)(x-2)-5}{x-2} = \frac{x+3}{x-2} ÷ \frac{x^2-9}{x-2} = \frac{x+3}{x-2} · \frac{x-2}{(x+3)(x-3)} = \frac{1}{x-3}.$ 代入求值不唯一.
解析：
【分析】
这是分式化简求值类题目，按照分式混合运算的顺序思考：第一步先计算括号内的异分母分式减法，把x+2看作分母为1的分式，和$\frac{5}{x-2}$通分后计算分子；第二步将括号外的除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；第三步对分子分母因式分解后约分得到最简结果；最后选取x的值时，要保证原式中所有分母不为0，即x不能取2、3、-3，避免分式无意义。
【解析】
先计算括号内的运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x+3}{x-2} ÷ ( \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} - \frac{5}{x-2} )\\&=\frac{x+3}{x-2} ÷ \frac{(x+2)(x-2)-5}{x-2}\\&=\frac{x+3}{x-2} ÷ \frac{x^2 - 4 -5}{x-2}\\&=\frac{x+3}{x-2} ÷ \frac{x^2 -9}{x-2}\\\end{aligned}$
再将除法转化为乘法，约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x+3}{x-2} · \frac{x-2}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{1}{x-3}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件可知：x-2≠0，x-3≠0，x+3≠0，即x≠2、x≠3、x≠-3。
选取x=0代入最简式，得$\frac{1}{0-3}=-\frac{1}{3}$（代入值不唯一，符合要求即可）
【答案】
化简结果为$\frac{1}{x-3}$，例如当x=0时，值为$-\frac{1}{3}$（代入取值不唯一）
【知识点】
1.分式的混合运算
2.分式有意义的条件
3.分式化简求值
【点评】
本题重点考查分式的运算规则，解题时要遵循运算顺序，通分、因式分解、约分步骤要规范，代入求值时必须保证原分式所有分母、除式不为0，否则分式无意义。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，按照分式混合运算的顺序思考：第一步先计算括号内的异分母分式减法，把x+2看作分母为1的分式，和$\frac{5}{x-2}$通分后计算分子；第二步将括号外的除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；第三步对分子分母因式分解后约分得到最简结果；最后选取x的值时，要保证原式中所有分母不为0，即x不能取2、3、-3，避免分式无意义。
【解析】
先计算括号内的运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x+3}{x-2} ÷ ( \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} - \frac{5}{x-2} )\\&=\frac{x+3}{x-2} ÷ \frac{(x+2)(x-2)-5}{x-2}\\&=\frac{x+3}{x-2} ÷ \frac{x^2 - 4 -5}{x-2}\\&=\frac{x+3}{x-2} ÷ \frac{x^2 -9}{x-2}\\\end{aligned}$
再将除法转化为乘法，约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x+3}{x-2} · \frac{x-2}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{1}{x-3}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件可知：x-2≠0，x-3≠0，x+3≠0，即x≠2、x≠3、x≠-3。
选取x=0代入最简式，得$\frac{1}{0-3}=-\frac{1}{3}$（代入值不唯一，符合要求即可）
【答案】
化简结果为$\frac{1}{x-3}$，例如当x=0时，值为$-\frac{1}{3}$（代入取值不唯一）
【知识点】
1.分式的混合运算
2.分式有意义的条件
3.分式化简求值
【点评】
本题重点考查分式的运算规则，解题时要遵循运算顺序，通分、因式分解、约分步骤要规范，代入求值时必须保证原分式所有分母、除式不为0，否则分式无意义。
【难度系数】
0.8
5. 先化简,再求值:$(x - \dfrac{3x}{x+1}) ÷ \dfrac{x-2}{x^2 + 2x +1}$,其中$x^2 + x -2=0$.
答案：5. 2.
解析：
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路为：第一步先化简分式，先计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子，再将除法运算转化为乘法运算，对多项式因式分解后约分得到最简式；第二步结合已知条件，不需要求出x的具体值，用整体代入的方法计算最终结果，简化计算过程。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内的减法，通分得：
$\begin{aligned}x - \frac{3x}{x+1}&=\frac{x(x+1)-3x}{x+1}\\&=\frac{x^2+x-3x}{x+1}\\&=\frac{x^2-2x}{x+1}\\&=\frac{x(x-2)}{x+1}\end{aligned}$
2. 将除法转化为乘法，同时对$x^2+2x+1$因式分解：
$x^2+2x+1=(x+1)^2$，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x(x-2)}{x+1} ÷ \frac{x-2}{(x+1)^2}\\&=\frac{x(x-2)}{x+1} × \frac{(x+1)^2}{x-2}\\\end{aligned}$
3. 约分后得到最简式：
约去分子分母的公因式$x-2$和$x+1$，可得原式$=x(x+1)=x^2+x$
4. 整体代入求值：
已知$x^2+x-2=0$，移项得$x^2+x=2$，代入最简式得原式的值为2。
【答案】
2
【知识点】
分式化简；因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题核心是先将分式化简为最简形式，再结合已知条件用整体代入的方法计算，避免求解x的具体值，能有效降低计算错误率，约分过程要注意公因式不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路为：第一步先化简分式，先计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子，再将除法运算转化为乘法运算，对多项式因式分解后约分得到最简式；第二步结合已知条件，不需要求出x的具体值，用整体代入的方法计算最终结果，简化计算过程。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内的减法，通分得：
$\begin{aligned}x - \frac{3x}{x+1}&=\frac{x(x+1)-3x}{x+1}\\&=\frac{x^2+x-3x}{x+1}\\&=\frac{x^2-2x}{x+1}\\&=\frac{x(x-2)}{x+1}\end{aligned}$
2. 将除法转化为乘法，同时对$x^2+2x+1$因式分解：
$x^2+2x+1=(x+1)^2$，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x(x-2)}{x+1} ÷ \frac{x-2}{(x+1)^2}\\&=\frac{x(x-2)}{x+1} × \frac{(x+1)^2}{x-2}\\\end{aligned}$
3. 约分后得到最简式：
约去分子分母的公因式$x-2$和$x+1$，可得原式$=x(x+1)=x^2+x$
4. 整体代入求值：
已知$x^2+x-2=0$，移项得$x^2+x=2$，代入最简式得原式的值为2。
【答案】
2
【知识点】
分式化简；因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题核心是先将分式化简为最简形式，再结合已知条件用整体代入的方法计算，避免求解x的具体值，能有效降低计算错误率，约分过程要注意公因式不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
有甲、乙两位采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料，两次购买饲料的单价分别为$a$元/千克、$b$元/千克，且$a≠b$.两人采购方式不同，甲每次购买1000千克，乙每次花去800元，而不管买多少饲料.
（1）那么甲所购饲料的平均单价为
（2）试说明谁的购货方式更合算.
（1）那么甲所购饲料的平均单价为
$\frac{a+b}{2}$
元/千克，乙所购饲料的平均单价为$\frac{2ab}{a+b}$
元/千克；（2）试说明谁的购货方式更合算.
答案：(1) $\frac{a+b}{2}$；$\frac{2ab}{a+b}.$ (2) $\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$,故乙合算.
解析：
【分析】
（1）计算平均单价的核心公式是“平均单价=总费用÷总质量”。求甲的平均单价时，先算出两次采购的总费用、总质量，再作商化简即可；求乙的平均单价时，先算出两次采购的总费用、总质量，再作商化简即可。（2）判断谁的购货方式更合算，本质是比较两人平均单价的大小，采用作差法，将两个平均单价相减，通分化简后根据差的正负判断大小即可，注意单价a、b均为正数，且a≠b。
【解析】
（1）计算甲的平均单价：
甲两次采购的总费用为$1000a + 1000b$元，总质量为$1000×2=2000$千克，
因此甲的平均单价为$\frac{1000a+1000b}{2000}=\frac{a+b}{2}$元/千克。
计算乙的平均单价：
乙两次采购的总费用为$800×2=1600$元，两次采购的总质量为$\frac{800}{a}+\frac{800}{b}=\frac{800(a+b)}{ab}$千克，
因此乙的平均单价为$1600÷\frac{800(a+b)}{ab}=\frac{2ab}{a+b}$元/千克。
（2）用作差法比较两人平均单价的大小：
$\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}$
通分，公分母为$2(a+b)$，得：
$=\frac{(a+b)^2}{2(a+b)}-\frac{4ab}{2(a+b)}$
$=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}$
化简分子：
$(a+b)^2-4ab=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
因为$a≠b$，所以$(a-b)^2＞0$，又因为单价$a＞0,b＞0$，所以分母$2(a+b)＞0$，
因此$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，即$\frac{a+b}{2}＞\frac{2ab}{a+b}$，乙的平均单价更低。
【答案】
（1）$\frac{a+b}{2}$；$\frac{2ab}{a+b}$
（2）乙的购货方式更合算
【知识点】
分式的加减运算，作差法比较大小，平均单价计算
【点评】
本题结合生活采购场景考查分式的实际应用，解题的核心是明确平均单价的计算逻辑，熟练掌握分式通分化简的方法，作差比较代数式大小时要注意结合实际意义判断字母的取值范围。
【难度系数】
0.7
（1）计算平均单价的核心公式是“平均单价=总费用÷总质量”。求甲的平均单价时，先算出两次采购的总费用、总质量，再作商化简即可；求乙的平均单价时，先算出两次采购的总费用、总质量，再作商化简即可。（2）判断谁的购货方式更合算，本质是比较两人平均单价的大小，采用作差法，将两个平均单价相减，通分化简后根据差的正负判断大小即可，注意单价a、b均为正数，且a≠b。
【解析】
（1）计算甲的平均单价：
甲两次采购的总费用为$1000a + 1000b$元，总质量为$1000×2=2000$千克，
因此甲的平均单价为$\frac{1000a+1000b}{2000}=\frac{a+b}{2}$元/千克。
计算乙的平均单价：
乙两次采购的总费用为$800×2=1600$元，两次采购的总质量为$\frac{800}{a}+\frac{800}{b}=\frac{800(a+b)}{ab}$千克，
因此乙的平均单价为$1600÷\frac{800(a+b)}{ab}=\frac{2ab}{a+b}$元/千克。
（2）用作差法比较两人平均单价的大小：
$\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}$
通分，公分母为$2(a+b)$，得：
$=\frac{(a+b)^2}{2(a+b)}-\frac{4ab}{2(a+b)}$
$=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}$
化简分子：
$(a+b)^2-4ab=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
因为$a≠b$，所以$(a-b)^2＞0$，又因为单价$a＞0,b＞0$，所以分母$2(a+b)＞0$，
因此$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，即$\frac{a+b}{2}＞\frac{2ab}{a+b}$，乙的平均单价更低。
【答案】
（1）$\frac{a+b}{2}$；$\frac{2ab}{a+b}$
（2）乙的购货方式更合算
【知识点】
分式的加减运算，作差法比较大小，平均单价计算
【点评】
本题结合生活采购场景考查分式的实际应用，解题的核心是明确平均单价的计算逻辑，熟练掌握分式通分化简的方法，作差比较代数式大小时要注意结合实际意义判断字母的取值范围。
【难度系数】
0.7