6. 已知$∠ AOB=30°$,点$P$是$∠ AOB$的平分线$OC$上的动点,点$M$在边$OA$上,且$OM=4$,则点$P$到点$M$与到边$OA$的距离之和的最小值是多少?
答案：6. 2.
解析：
【分析】
本题属于最短路径求最值问题，解题思路可分为三步：①利用角平分线的轴对称性，作点M关于OC的对称点M'，根据对称性质可得PM=PM'，即可将所求的“点P到M的距离与到OA的距离之和”转化为“PM' + 点P到OA的距离”；②根据“垂线段最短”的性质，可知当M'、P、以及P到OA的垂足三点共线，且该线段垂直于OA时，总长度最小，即为点M'到OA的垂线段长度；③结合含30°角的直角三角形的性质计算垂线段的长度即可。
【解析】
1. 作点M关于角平分线OC的对称点M'，由角平分线是角的对称轴可知，点M'落在OB边上，且OM'=OM=4。
2. 过点M'作M'H⊥OA于点H，线段M'H与OC的交点即为所求的点P。此时点P到OA的距离为PH，由对称性质得PM=PM'，因此PM + PH = PM' + PH = M'H，根据垂线段最短，此时的和为最小值。
3. 在Rt△M'OH中，∠AOB=30°，斜边OM'=4，根据“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得M'H = $\frac{1}{2}$OM' = $\frac{1}{2}×4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
最短路径问题，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题核心是利用轴对称将两条线段的和转化为点到直线的垂线段长度，再结合特殊直角三角形的性质求解，要求学生熟练掌握轴对称、角平分线及直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径求最值问题，解题思路可分为三步：①利用角平分线的轴对称性，作点M关于OC的对称点M'，根据对称性质可得PM=PM'，即可将所求的“点P到M的距离与到OA的距离之和”转化为“PM' + 点P到OA的距离”；②根据“垂线段最短”的性质，可知当M'、P、以及P到OA的垂足三点共线，且该线段垂直于OA时，总长度最小，即为点M'到OA的垂线段长度；③结合含30°角的直角三角形的性质计算垂线段的长度即可。
【解析】
1. 作点M关于角平分线OC的对称点M'，由角平分线是角的对称轴可知，点M'落在OB边上，且OM'=OM=4。
2. 过点M'作M'H⊥OA于点H，线段M'H与OC的交点即为所求的点P。此时点P到OA的距离为PH，由对称性质得PM=PM'，因此PM + PH = PM' + PH = M'H，根据垂线段最短，此时的和为最小值。
3. 在Rt△M'OH中，∠AOB=30°，斜边OM'=4，根据“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得M'H = $\frac{1}{2}$OM' = $\frac{1}{2}×4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
最短路径问题，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题核心是利用轴对称将两条线段的和转化为点到直线的垂线段长度，再结合特殊直角三角形的性质求解，要求学生熟练掌握轴对称、角平分线及直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
如图,在等边△ABC中,BD⊥AC于点D,点P,Q分别为线段AB,AD上的两个定点,且QD=15,BP=AQ=20.
(1) 作点Q关于直线BD的对称点Q'.
(2) 在BD上有一动点E,求PE+QE的最小值.
(1) 作点Q关于直线BD的对称点Q'.
(2) 在BD上有一动点E,求PE+QE的最小值.
答案：
解:(1) 如图所示
; (2) 连接 PQ', EQ'.
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ AC=BA=BC,∠A=60°.
∵ BD ⊥ AC,
∴ AD = CD.
∵ QD = Q' D,
∴ CQ'=AQ=BP=20.
∴ AP=AQ'=AQ+2QD=50.
∵ ∠A=60°,
∴ △APQ'为等边三角形,
∴ PQ'=AQ'=50.
∵ PE+EQ=PE+EQ'≥PQ'=50,
∴ 当P,E,Q'三点共线时,PE+EQ取最小值50.
解:(1) 如图所示
; (2) 连接 PQ', EQ'.∵ △ABC 为等边三角形,
∴ AC=BA=BC,∠A=60°.
∵ BD ⊥ AC,
∴ AD = CD.
∵ QD = Q' D,
∴ CQ'=AQ=BP=20.
∴ AP=AQ'=AQ+2QD=50.
∵ ∠A=60°,
∴ △APQ'为等边三角形,
∴ PQ'=AQ'=50.
∵ PE+EQ=PE+EQ'≥PQ'=50,
∴ 当P,E,Q'三点共线时,PE+EQ取最小值50.
解析：
【分析】
(1) 作Q关于BD的对称点时，根据轴对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分，BD垂直AC，所以只需在DC上截取DQ'=DQ，即可得到所求对称点Q'。
(2) 本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：① 利用轴对称性质，将QE转化为Q'E（E在对称轴BD上，故QE=Q'E），此时PE+QE转化为PE+Q'E；② 根据“两点之间线段最短”，PE+Q'E的最小值就是线段PQ'的长度，当P、E、Q'三点共线时取到最小值；③ 结合等边三角形的性质计算PQ'的长度：先求出AQ'、AP的长度，再证明△APQ'为等边三角形，即可得到所求最小值。
【解析】
(1) 在DC边上截取DQ'=DQ，点Q'即为Q关于BD的对称点，作图如图所示。
(2) 连接PQ'、EQ'：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠A=60°，
∵ BD⊥AC，由等边三角形三线合一的性质可得AD=DC，
∵ Q与Q'关于BD对称，
∴ QD=Q'D，QE=Q'E，
已知QD=15，AQ=20，
∴ AQ' = AQ + QD + DQ' = 20 + 15 + 15 = 50，AC=2AD=2×(AQ+QD)=70，
又
∵ BP=20，
∴ AP=AB - BP = AC - BP =70 - 20=50，
∴ AP=AQ'=50，且∠A=60°，
∴ △APQ'是等边三角形，
∴ PQ'=AQ'=50，
∵ PE + QE = PE + Q'E ≥ PQ'（两点之间线段最短），当P、E、Q'三点共线时等号成立，
∴ PE+QE的最小值为50。
【答案】
(1) 如图所示；
(2) 50
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题将轴对称最短路径模型与等边三角形的性质相结合，解题核心是利用轴对称将两条线段和的最值问题转化为两点之间的线段长度求解，同时结合等边三角形的性质计算线段长度，是几何最值基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 作Q关于BD的对称点时，根据轴对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分，BD垂直AC，所以只需在DC上截取DQ'=DQ，即可得到所求对称点Q'。
(2) 本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：① 利用轴对称性质，将QE转化为Q'E（E在对称轴BD上，故QE=Q'E），此时PE+QE转化为PE+Q'E；② 根据“两点之间线段最短”，PE+Q'E的最小值就是线段PQ'的长度，当P、E、Q'三点共线时取到最小值；③ 结合等边三角形的性质计算PQ'的长度：先求出AQ'、AP的长度，再证明△APQ'为等边三角形，即可得到所求最小值。
【解析】
(1) 在DC边上截取DQ'=DQ，点Q'即为Q关于BD的对称点，作图如图所示
。(2) 连接PQ'、EQ'：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠A=60°，
∵ BD⊥AC，由等边三角形三线合一的性质可得AD=DC，
∵ Q与Q'关于BD对称，
∴ QD=Q'D，QE=Q'E，
已知QD=15，AQ=20，
∴ AQ' = AQ + QD + DQ' = 20 + 15 + 15 = 50，AC=2AD=2×(AQ+QD)=70，
又
∵ BP=20，
∴ AP=AB - BP = AC - BP =70 - 20=50，
∴ AP=AQ'=50，且∠A=60°，
∴ △APQ'是等边三角形，
∴ PQ'=AQ'=50，
∵ PE + QE = PE + Q'E ≥ PQ'（两点之间线段最短），当P、E、Q'三点共线时等号成立，
∴ PE+QE的最小值为50。
【答案】
(1) 如图所示
；(2) 50
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题将轴对称最短路径模型与等边三角形的性质相结合，解题核心是利用轴对称将两条线段和的最值问题转化为两点之间的线段长度求解，同时结合等边三角形的性质计算线段长度，是几何最值基础应用类题型。
【难度系数】
0.7