活动一:忆一忆 说一说
1. 什么叫频数？什么叫频率？
2. 什么叫概率？如何计算等可能条件下的概率？频率与概率之间有怎样的关系？
1. 什么叫频数？什么叫频率？
2. 什么叫概率？如何计算等可能条件下的概率？频率与概率之间有怎样的关系？
答案：1. 在考察中,每个对象出现的次数称为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率
2. 略
2. 略
解析：
【分析】
本题属于统计与概率模块的基础概念类题目，主要考查核心基础定义的识记。解题时直接对照教材所学的对应概念表述即可：第1问直接回忆频数、频率的定义作答；第2问依次回忆概率的定义、等可能事件概率的计算方法、频率和概率的关联，分点表述即可，无需复杂推导。
【解析】
1. 根据教材定义，统计考察过程中，每个被考察对象出现的次数就是频数；将单个对象的出现次数除以考察的总次数，得到的比值就是该对象出现的频率。
2. ①概率的定义：在大量重复进行同一试验时，某事件发生的频率会稳定在一个固定常数附近，这个常数就是该事件的概率，用于表征事件发生可能性的大小。
②等可能条件下的概率计算：如果一次试验共有$n$种等可能的结果，目标事件$A$包含其中的$m$种结果，那么事件$A$的概率为$P(A)=\frac{m}{n}$。
③频率与概率的关系：频率是试验得到的统计值，会随试验次数产生波动；概率是固定的理论值，当试验次数足够大时，频率会在概率附近摆动，因此可以用多次试验得到的频率估计事件的概率。
【答案】
1. 在考察中,每个对象出现的次数称为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率。
2. ①概率：大量重复试验中，事件发生的频率稳定到的常数叫做该事件的概率；②等可能条件下概率计算：试验有$n$种等可能结果，事件包含$m$种结果时，事件概率为$\frac{m}{n}$；③关系：试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，可用频率估计概率。
【知识点】
频数与频率的定义，概率的定义，频率与概率的关系
【点评】
本题是概率应用相关内容的入门基础题，侧重对基础概念的记忆和区分，掌握这些概念是后续学习用概率解决实际问题的前提。
【难度系数】
0.9
本题属于统计与概率模块的基础概念类题目，主要考查核心基础定义的识记。解题时直接对照教材所学的对应概念表述即可：第1问直接回忆频数、频率的定义作答；第2问依次回忆概率的定义、等可能事件概率的计算方法、频率和概率的关联，分点表述即可，无需复杂推导。
【解析】
1. 根据教材定义，统计考察过程中，每个被考察对象出现的次数就是频数；将单个对象的出现次数除以考察的总次数，得到的比值就是该对象出现的频率。
2. ①概率的定义：在大量重复进行同一试验时，某事件发生的频率会稳定在一个固定常数附近，这个常数就是该事件的概率，用于表征事件发生可能性的大小。
②等可能条件下的概率计算：如果一次试验共有$n$种等可能的结果，目标事件$A$包含其中的$m$种结果，那么事件$A$的概率为$P(A)=\frac{m}{n}$。
③频率与概率的关系：频率是试验得到的统计值，会随试验次数产生波动；概率是固定的理论值，当试验次数足够大时，频率会在概率附近摆动，因此可以用多次试验得到的频率估计事件的概率。
【答案】
1. 在考察中,每个对象出现的次数称为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率。
2. ①概率：大量重复试验中，事件发生的频率稳定到的常数叫做该事件的概率；②等可能条件下概率计算：试验有$n$种等可能结果，事件包含$m$种结果时，事件概率为$\frac{m}{n}$；③关系：试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，可用频率估计概率。
【知识点】
频数与频率的定义，概率的定义，频率与概率的关系
【点评】
本题是概率应用相关内容的入门基础题，侧重对基础概念的记忆和区分，掌握这些概念是后续学习用概率解决实际问题的前提。
【难度系数】
0.9
活动二:想一想 做一做
1. 袋中装有白球和红球共 20 个,每个球除颜色外都相同.我们通过摸球试验来估计袋中白球和红球的数量.
（1）分组摸球,并将结果填入下表:
| 球的颜色 | 白色 | 红色 |
| --- | --- | --- |
| 频数 |
| |
| 频率 | | |
估计 20 个球中有个白球,个红球.
（2）你的估计与实际一致吗?为什么?
（3）用上述方法估计袋中白球数和红球数的依据是什么?
2. 袋中装有 5 个白球和若干个红球,每个球除颜色外都相同,不将球倒出来数,你能用适当的方法估计出袋中有多少个红球吗?写出你的理由.
1. 袋中装有白球和红球共 20 个,每个球除颜色外都相同.我们通过摸球试验来估计袋中白球和红球的数量.
（1）分组摸球,并将结果填入下表:
| 球的颜色 | 白色 | 红色 |
| --- | --- | --- |
| 频数 |
| || 频率 | | |
估计 20 个球中有个白球,个红球.
（2）你的估计与实际一致吗?为什么?
（3）用上述方法估计袋中白球数和红球数的依据是什么?
2. 袋中装有 5 个白球和若干个红球,每个球除颜色外都相同,不将球倒出来数,你能用适当的方法估计出袋中有多少个红球吗?写出你的理由.
答案：解：
1. （1）以下为符合试验逻辑的示例结果：
| 球的颜色 | 白色 | 红色 |
| ---- | ---- | ---- |
| 频数 | 40 | 60 |
| 频率 | 0.4 | 0.6 |
估计20个球中有 $\boldsymbol{8}$ 个白球，$\boldsymbol{12}$ 个红球。
（2）估计结果与实际数量不一定完全一致。
理由：摸球试验的结果具有随机性，试验得到的频率是对应概率的近似值，在试验次数有限的情况下，频率和真实概率存在偏差，因此推算出的球数估计值和实际值可能存在差异。
（3）估计的依据是：在大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在该事件发生的概率附近，因此可以用摸球试验得到的摸到白球、红球的频率，分别估计从袋中任取1个球是白球、红球的概率，再结合总球数20，计算得到袋中白球和红球的数量估计值。
2. 估计方法：
进行大量重复摸球试验：每次从袋中摸出1个球，记录颜色后放回袋中并充分搅匀，记录总摸球次数为$N$，其中摸到白球的次数为$k$。
当$N$足够大时，摸到白球的频率$\frac{k}{N}$可以作为“从袋中任取1个球是白球”的概率的估计值。
设袋中红球有$x$个，可得$\frac{5}{x+5}\approx\frac{k}{N}$，解得$x\approx\frac{5N}{k}-5$，即可得到袋中红球的数量估计值。
理由：利用大量重复试验中随机事件的频率趋近于概率的规律，通过已知的白球数量和白球的概率估计值，推算出袋中总球数，进而得到红球的估计数量。
1. （1）以下为符合试验逻辑的示例结果：
| 球的颜色 | 白色 | 红色 |
| ---- | ---- | ---- |
| 频数 | 40 | 60 |
| 频率 | 0.4 | 0.6 |
估计20个球中有 $\boldsymbol{8}$ 个白球，$\boldsymbol{12}$ 个红球。
（2）估计结果与实际数量不一定完全一致。
理由：摸球试验的结果具有随机性，试验得到的频率是对应概率的近似值，在试验次数有限的情况下，频率和真实概率存在偏差，因此推算出的球数估计值和实际值可能存在差异。
（3）估计的依据是：在大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在该事件发生的概率附近，因此可以用摸球试验得到的摸到白球、红球的频率，分别估计从袋中任取1个球是白球、红球的概率，再结合总球数20，计算得到袋中白球和红球的数量估计值。
2. 估计方法：
进行大量重复摸球试验：每次从袋中摸出1个球，记录颜色后放回袋中并充分搅匀，记录总摸球次数为$N$，其中摸到白球的次数为$k$。
当$N$足够大时，摸到白球的频率$\frac{k}{N}$可以作为“从袋中任取1个球是白球”的概率的估计值。
设袋中红球有$x$个，可得$\frac{5}{x+5}\approx\frac{k}{N}$，解得$x\approx\frac{5N}{k}-5$，即可得到袋中红球的数量估计值。
理由：利用大量重复试验中随机事件的频率趋近于概率的规律，通过已知的白球数量和白球的概率估计值，推算出袋中总球数，进而得到红球的估计数量。
解析：
【分析】
本题围绕频率估计概率的核心知识点设计，解题思路如下：1. 解答1（1）时，先模拟合理的摸球试验得到白球、红球的频数，计算对应频率，再用总球数分别乘两种球的频率，即可得到两种球的估计数量；2. 解答1（2）时，需明确有限次随机试验的结果具有随机性，频率仅为概率的近似值，因此估计值和实际值可能存在差异，从该角度阐述理由即可；3. 解答1（3）时，核心依据是大量重复试验中，事件的频率会稳定在对应概率附近，因此可以用频率近似概率进行估算；4. 解答第2题时，已知白球数量，可通过大量重复摸球试验得到白球的频率，将其近似为摸到白球的概率，结合概率公式列方程，即可估算出红球数量。
【解析】
1. （1）我们模拟进行100次有放回的均匀摸球试验，得到如下结果（试验结果不唯一，符合逻辑即可）：
| 球的颜色 | 白色 | 红色 |
| ---- | ---- | ---- |
| 频数 | 40 | 60 |
| 频率 | 0.4 | 0.6 |
估计白球数量：$20×0.4=8$（个），估计红球数量：$20×0.6=12$（个）。
（2）估计结果与实际数量不一定完全一致。
理由：摸球试验是随机试验，试验得到的频率仅为对应概率的近似值，在试验次数有限的情况下，频率和真实概率存在偏差，因此推算出的球数估计值和实际值可能存在差异。
（3）估计的依据是：大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在该事件发生的概率附近，因此可以用摸球试验得到的摸到白球、红球的频率，分别估计从袋中任取1个球是白球、红球的概率，再结合总球数20，即可计算得到袋中白球和红球的数量估计值。
2. 估计方法：
第一步，进行大量重复有放回摸球试验：每次从袋中摸出1个球，记录颜色后放回袋中并充分搅匀，记录总摸球次数为$N$，其中摸到白球的次数为$k$；
第二步，当$N$足够大时，摸到白球的频率$\frac{k}{N}$可以作为“从袋中任取1个球是白球”的概率的估计值；
第三步，设袋中红球有$x$个，根据概率公式可得$\frac{5}{x+5}\approx\frac{k}{N}$，解得$x\approx\frac{5N}{k}-5$，即可得到袋中红球的数量估计值。
理由：利用大量重复试验中随机事件的频率趋近于概率的规律，通过已知的白球数量和白球的概率估计值，推算出袋中总球数，进而得到红球的估计数量。
【答案】
1.（1）（示例）表格依次填40、60、0.4、0.6；$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{12}$（答案不唯一，与试验频率对应即可）
（2）不一定一致，理由：摸球试验结果具有随机性，有限次试验得到的频率与真实概率存在偏差，因此估计值与实际值可能有差异。
（3）大量重复试验中事件发生的频率稳定在其概率附近，可用频率估计概率，结合总球数即可估算两种球的数量。
2. 可通过大量重复有放回摸球试验得到白球的频率，将其近似为摸到白球的概率，结合概率公式列方程估算红球数量，具体方法和理由见上述解析。
【知识点】
频率估计概率，概率计算，用样本估计总体
【点评】
本题结合摸球的生活化场景，考查频率估计概率的原理及实际应用，要求理解频率和概率的区别与联系，能够运用相关原理设计试验解决实际估算问题，侧重对实践能力和逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题围绕频率估计概率的核心知识点设计，解题思路如下：1. 解答1（1）时，先模拟合理的摸球试验得到白球、红球的频数，计算对应频率，再用总球数分别乘两种球的频率，即可得到两种球的估计数量；2. 解答1（2）时，需明确有限次随机试验的结果具有随机性，频率仅为概率的近似值，因此估计值和实际值可能存在差异，从该角度阐述理由即可；3. 解答1（3）时，核心依据是大量重复试验中，事件的频率会稳定在对应概率附近，因此可以用频率近似概率进行估算；4. 解答第2题时，已知白球数量，可通过大量重复摸球试验得到白球的频率，将其近似为摸到白球的概率，结合概率公式列方程，即可估算出红球数量。
【解析】
1. （1）我们模拟进行100次有放回的均匀摸球试验，得到如下结果（试验结果不唯一，符合逻辑即可）：
| 球的颜色 | 白色 | 红色 |
| ---- | ---- | ---- |
| 频数 | 40 | 60 |
| 频率 | 0.4 | 0.6 |
估计白球数量：$20×0.4=8$（个），估计红球数量：$20×0.6=12$（个）。
（2）估计结果与实际数量不一定完全一致。
理由：摸球试验是随机试验，试验得到的频率仅为对应概率的近似值，在试验次数有限的情况下，频率和真实概率存在偏差，因此推算出的球数估计值和实际值可能存在差异。
（3）估计的依据是：大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在该事件发生的概率附近，因此可以用摸球试验得到的摸到白球、红球的频率，分别估计从袋中任取1个球是白球、红球的概率，再结合总球数20，即可计算得到袋中白球和红球的数量估计值。
2. 估计方法：
第一步，进行大量重复有放回摸球试验：每次从袋中摸出1个球，记录颜色后放回袋中并充分搅匀，记录总摸球次数为$N$，其中摸到白球的次数为$k$；
第二步，当$N$足够大时，摸到白球的频率$\frac{k}{N}$可以作为“从袋中任取1个球是白球”的概率的估计值；
第三步，设袋中红球有$x$个，根据概率公式可得$\frac{5}{x+5}\approx\frac{k}{N}$，解得$x\approx\frac{5N}{k}-5$，即可得到袋中红球的数量估计值。
理由：利用大量重复试验中随机事件的频率趋近于概率的规律，通过已知的白球数量和白球的概率估计值，推算出袋中总球数，进而得到红球的估计数量。
【答案】
1.（1）（示例）表格依次填40、60、0.4、0.6；$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{12}$（答案不唯一，与试验频率对应即可）
（2）不一定一致，理由：摸球试验结果具有随机性，有限次试验得到的频率与真实概率存在偏差，因此估计值与实际值可能有差异。
（3）大量重复试验中事件发生的频率稳定在其概率附近，可用频率估计概率，结合总球数即可估算两种球的数量。
2. 可通过大量重复有放回摸球试验得到白球的频率，将其近似为摸到白球的概率，结合概率公式列方程估算红球数量，具体方法和理由见上述解析。
【知识点】
频率估计概率，概率计算，用样本估计总体
【点评】
本题结合摸球的生活化场景，考查频率估计概率的原理及实际应用，要求理解频率和概率的区别与联系，能够运用相关原理设计试验解决实际估算问题，侧重对实践能力和逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
1. 一只不透明的袋中装有红色、白色的玻璃球共40个，每个球除颜色外都相同.小明通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.15，则估计袋中红球有 （
A.4个
B.6个
C.34个
D.36个
B
）A.4个
B.6个
C.34个
D.36个
答案：B
解析：
【分析】
解题时首先明确：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应的概率附近，因此可以用稳定的频率估计该事件发生的概率。本题中摸到红球的频率稳定在0.15，即可估计摸到红球的概率为0.15，再结合袋中球的总数量，用总数量乘红球的概率就能得到红球的估计数量。
【解析】
解：
∵多次摸球试验后摸到红球的频率稳定在0.15，
∴可估计摸到红球的概率为0.15，
又
∵袋中玻璃球总共有40个，
∴袋中红球的数量约为 $40×0.15=6$（个）
故选：B
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，概率的应用
【点评】
本题是概率实际应用的基础题型，核心考查频率与概率的关系，解题的关键是理解大量重复试验下稳定频率可作为概率的估计值，再结合概率公式计算对应数量即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应的概率附近，因此可以用稳定的频率估计该事件发生的概率。本题中摸到红球的频率稳定在0.15，即可估计摸到红球的概率为0.15，再结合袋中球的总数量，用总数量乘红球的概率就能得到红球的估计数量。
【解析】
解：
∵多次摸球试验后摸到红球的频率稳定在0.15，
∴可估计摸到红球的概率为0.15，
又
∵袋中玻璃球总共有40个，
∴袋中红球的数量约为 $40×0.15=6$（个）
故选：B
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，概率的应用
【点评】
本题是概率实际应用的基础题型，核心考查频率与概率的关系，解题的关键是理解大量重复试验下稳定频率可作为概率的估计值，再结合概率公式计算对应数量即可。
【难度系数】
0.9
2. 数学家皮尔逊(Pearson)曾在试验中掷硬币24 000次，正面朝上的次数是12 012次.据此，估计掷硬币正面朝上的概率是
0.5
.答案：0.5
解析：
【分析】
本题考查利用频率估计概率的知识，解题思路如下：首先明确在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在该事件发生的概率附近，因此我们先计算本次掷硬币试验中正面朝上的频率，再结合频率的稳定值估计正面朝上的概率即可。
【解析】
首先计算正面朝上的频率：
频率 = 正面朝上的次数 ÷ 总试验次数 = $ \frac{12012}{24000} = 0.5005 $
由于试验次数足够多（24000次属于大量重复试验），频率会稳定在概率附近，0.5005非常接近0.5，因此估计掷硬币正面朝上的概率是0.5。
【答案】
0.5
【知识点】
用频率估计概率、频率的计算
【点评】
本题是概率估计类基础题，解题关键是理解大量重复试验下频率与概率的关系，注意不要直接填写频率的精确计算值，要结合频率的稳定趋势取合理的近似值。
【难度系数】
0.85
本题考查利用频率估计概率的知识，解题思路如下：首先明确在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在该事件发生的概率附近，因此我们先计算本次掷硬币试验中正面朝上的频率，再结合频率的稳定值估计正面朝上的概率即可。
【解析】
首先计算正面朝上的频率：
频率 = 正面朝上的次数 ÷ 总试验次数 = $ \frac{12012}{24000} = 0.5005 $
由于试验次数足够多（24000次属于大量重复试验），频率会稳定在概率附近，0.5005非常接近0.5，因此估计掷硬币正面朝上的概率是0.5。
【答案】
0.5
【知识点】
用频率估计概率、频率的计算
【点评】
本题是概率估计类基础题，解题关键是理解大量重复试验下频率与概率的关系，注意不要直接填写频率的精确计算值，要结合频率的稳定趋势取合理的近似值。
【难度系数】
0.85