活动一:忆一忆 说一说
1. 本章知识结构
2. 你能举出现实生活中有关反比例函数的几个实例吗？
1. 本章知识结构
2. 你能举出现实生活中有关反比例函数的几个实例吗？
答案：解：
1. 知识结构空白处依次填写：
表达式：$\boldsymbol{y=\frac{k}{x}（k为常数，k≠0）}$
函数图象是：双曲线
函数图象关于：原点（或直线$y=x$、直线$y=-x$）
$k＞0$时，函数图象在第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小
$k＜0$时，函数图象在第二、四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大
2. 现实生活中的反比例函数实例：
① 当路程$s$为定值时，汽车行驶的平均速度$v$与行驶时间$t$满足$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数关系；
② 当矩形面积$S$为定值时，矩形的长$a$与宽$b$满足$a=\frac{S}{b}$，属于反比例函数关系；
③ 当压力$F$为定值时，接触面受到的压强$p$与受力面积$S$满足$p=\frac{F}{S}$，属于反比例函数关系。
1. 知识结构空白处依次填写：
表达式：$\boldsymbol{y=\frac{k}{x}（k为常数，k≠0）}$
函数图象是：双曲线
函数图象关于：原点（或直线$y=x$、直线$y=-x$）
$k＞0$时，函数图象在第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小
$k＜0$时，函数图象在第二、四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大
2. 现实生活中的反比例函数实例：
① 当路程$s$为定值时，汽车行驶的平均速度$v$与行驶时间$t$满足$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数关系；
② 当矩形面积$S$为定值时，矩形的长$a$与宽$b$满足$a=\frac{S}{b}$，属于反比例函数关系；
③ 当压力$F$为定值时，接触面受到的压强$p$与受力面积$S$满足$p=\frac{F}{S}$，属于反比例函数关系。
解析：
【分析】
这道题考查反比例函数的基础核心知识，解题可按知识结构的顺序梳理思路：首先回忆反比例函数的基本定义，写出对应的表达式；接着依次梳理反比例函数的图象形状、对称性，再分k＞0和k＜0两种情况明确图象所在象限、函数的增减性规律；最后结合生活中“某一量为定值时，另外两个变量乘积为定值”的数量关系，列举符合反比例函数特征的实例即可。
【解析】
1. 知识结构空白填写：
（1）反比例函数的标准表达式为$y=\frac{k}{x}$，其中k是不为0的常数；
（2）反比例函数的图象是双曲线，它是中心对称图形，对称中心为原点，同时也是轴对称图形，对称轴为直线$y=x$和直线$y=-x$；
（3）分情况讨论性质：
①当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
②当$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
2. 现实生活中的反比例函数实例可结合乘积为定值的数量关系举例，只要两个变量的乘积为定值，就符合反比例函数关系的特征。
【答案】
1. 知识结构空白处依次填写：$\boldsymbol{y=\frac{k}{x}（k为常数，k≠0）}$；双曲线；原点（或直线$y=x$、直线$y=-x$）；第一、三，增大，减小；第二、四，增大，增大。
2. 实例（答案不唯一，合理即可）：
① 当路程$s$为定值时，汽车行驶的平均速度$v$与行驶时间$t$满足$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数关系；
② 当矩形面积$S$为定值时，矩形的长$a$与宽$b$满足$a=\frac{S}{b}$，属于反比例函数关系；
③ 当压力$F$为定值时，接触面受到的压强$p$与受力面积$S$满足$p=\frac{F}{S}$，属于反比例函数关系。
【知识点】
反比例函数的概念，反比例函数的图象与性质，反比例函数的应用
【点评】
本题是反比例函数章节的基础梳理题，侧重对核心基础知识的记忆和迁移应用能力的考查，熟练掌握反比例函数的定义、图象性质是解题的关键，同时能引导同学们建立数学知识联系实际生活的思维。
【难度系数】
0.85
这道题考查反比例函数的基础核心知识，解题可按知识结构的顺序梳理思路：首先回忆反比例函数的基本定义，写出对应的表达式；接着依次梳理反比例函数的图象形状、对称性，再分k＞0和k＜0两种情况明确图象所在象限、函数的增减性规律；最后结合生活中“某一量为定值时，另外两个变量乘积为定值”的数量关系，列举符合反比例函数特征的实例即可。
【解析】
1. 知识结构空白填写：
（1）反比例函数的标准表达式为$y=\frac{k}{x}$，其中k是不为0的常数；
（2）反比例函数的图象是双曲线，它是中心对称图形，对称中心为原点，同时也是轴对称图形，对称轴为直线$y=x$和直线$y=-x$；
（3）分情况讨论性质：
①当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
②当$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
2. 现实生活中的反比例函数实例可结合乘积为定值的数量关系举例，只要两个变量的乘积为定值，就符合反比例函数关系的特征。
【答案】
1. 知识结构空白处依次填写：$\boldsymbol{y=\frac{k}{x}（k为常数，k≠0）}$；双曲线；原点（或直线$y=x$、直线$y=-x$）；第一、三，增大，减小；第二、四，增大，增大。
2. 实例（答案不唯一，合理即可）：
① 当路程$s$为定值时，汽车行驶的平均速度$v$与行驶时间$t$满足$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数关系；
② 当矩形面积$S$为定值时，矩形的长$a$与宽$b$满足$a=\frac{S}{b}$，属于反比例函数关系；
③ 当压力$F$为定值时，接触面受到的压强$p$与受力面积$S$满足$p=\frac{F}{S}$，属于反比例函数关系。
【知识点】
反比例函数的概念，反比例函数的图象与性质，反比例函数的应用
【点评】
本题是反比例函数章节的基础梳理题，侧重对核心基础知识的记忆和迁移应用能力的考查，熟练掌握反比例函数的定义、图象性质是解题的关键，同时能引导同学们建立数学知识联系实际生活的思维。
【难度系数】
0.85
活动二:想一想 做一做
1. 小星在阅读《天工开物》时,看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(图2-4①),有一横杆固定于桔槔上的点O,并可绕点O转动.在横杆A处连接一竹竿,在横杆B处固定300 N的物体,且点B与桔槔的距离为1 m.当改变点A与桔槔的距离l时,农民对竹竿施加竖直向下的拉力为F,小星发现F与l有一定的关系,记录了拉力的大小F与l的变化,如表:
图2-4
(1) 表格中a的值是
(2) 小星通过分析表格数据发现,用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图2-4②所示的平面直角坐标系中,描出表中对应的点,并画出这个函数的图象.
(3) 根据以上数据和图象判断,当l增大时,拉力F是增大还是减小?请说明理由.
1. 小星在阅读《天工开物》时,看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(图2-4①),有一横杆固定于桔槔上的点O,并可绕点O转动.在横杆A处连接一竹竿,在横杆B处固定300 N的物体,且点B与桔槔的距离为1 m.当改变点A与桔槔的距离l时,农民对竹竿施加竖直向下的拉力为F,小星发现F与l有一定的关系,记录了拉力的大小F与l的变化,如表:
图2-4
(1) 表格中a的值是
100
.(2) 小星通过分析表格数据发现,用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图2-4②所示的平面直角坐标系中,描出表中对应的点,并画出这个函数的图象.
(3) 根据以上数据和图象判断,当l增大时,拉力F是增大还是减小?请说明理由.
答案：
1. (1) 100
(2) 画出F与l的函数图象如图
所示
(3) 当l增大时,拉力F减小
1. (1) 100
(2) 画出F与l的函数图象如图
所示(3) 当l增大时,拉力F减小
解析：
【分析】
本题结合古代汲水工具桔槔的实际场景，考查反比例函数的相关应用：
1. 第(1)问：首先根据杠杆平衡原理可得动力×动力臂=阻力×阻力臂，代入已知的阻力、阻力臂数值，即可得到F和l的反比例函数关系，代入对应l的取值即可求出a的值；
2. 第(2)问：按照表格中给出的各组(l,F)数值，在坐标系中逐个描点，再用光滑的曲线连接各点即可得到函数图象；
3. 第(3)问：可通过反比例函数的性质（k＞0时，在第一象限内函数值随自变量增大而减小）判断，也可直接观察图象的变化趋势得到结论。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，已知阻力为300N，阻力臂为1m，动力为F，动力臂为l，可得：
$F · l = 300\mathrm{N} × 1\mathrm{m} = 300\mathrm{N·m}$
即$F=\frac{300}{l}$，将$l=3\mathrm{m}$代入得：$F=\frac{300}{3}=100\mathrm{N}$，故a的值为100。
(2) 依次描出点$(1,300)、(1.5,200)、(2,150)、(2.5,120)、(3,100)$，再用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到F与l的函数图象。
(3) 由$F=\frac{300}{l}$可知，该函数是反比例函数，比例系数$k=300＞0$，且$l＞0$，在第一象限内，F随l的增大而减小；或观察图象可知，图象从左到右呈下降趋势，因此当l增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) 100
(2) 画出F与l的函数图象如图所示
(3) 当l增大时，拉力F减小
【知识点】
反比例函数的应用、描点法画函数图象、反比例函数的性质
【点评】
本题结合生活实际情境考查反比例函数的相关知识，实现了跨学科知识的融合，既考查了学生对反比例函数性质的掌握情况，也能让学生体会到数学知识在生产生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
本题结合古代汲水工具桔槔的实际场景，考查反比例函数的相关应用：
1. 第(1)问：首先根据杠杆平衡原理可得动力×动力臂=阻力×阻力臂，代入已知的阻力、阻力臂数值，即可得到F和l的反比例函数关系，代入对应l的取值即可求出a的值；
2. 第(2)问：按照表格中给出的各组(l,F)数值，在坐标系中逐个描点，再用光滑的曲线连接各点即可得到函数图象；
3. 第(3)问：可通过反比例函数的性质（k＞0时，在第一象限内函数值随自变量增大而减小）判断，也可直接观察图象的变化趋势得到结论。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，已知阻力为300N，阻力臂为1m，动力为F，动力臂为l，可得：
$F · l = 300\mathrm{N} × 1\mathrm{m} = 300\mathrm{N·m}$
即$F=\frac{300}{l}$，将$l=3\mathrm{m}$代入得：$F=\frac{300}{3}=100\mathrm{N}$，故a的值为100。
(2) 依次描出点$(1,300)、(1.5,200)、(2,150)、(2.5,120)、(3,100)$，再用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到F与l的函数图象。
(3) 由$F=\frac{300}{l}$可知，该函数是反比例函数，比例系数$k=300＞0$，且$l＞0$，在第一象限内，F随l的增大而减小；或观察图象可知，图象从左到右呈下降趋势，因此当l增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) 100
(2) 画出F与l的函数图象如图
所示(3) 当l增大时，拉力F减小
【知识点】
反比例函数的应用、描点法画函数图象、反比例函数的性质
【点评】
本题结合生活实际情境考查反比例函数的相关知识，实现了跨学科知识的融合，既考查了学生对反比例函数性质的掌握情况，也能让学生体会到数学知识在生产生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7