2. 为预防流感，某校对教室进行药熏消毒. 在药物燃烧阶段，室内空气的含药量$y\ \mathrm{mg/m}^3$与燃烧时间$x\ \mathrm{min}$成正比例关系；燃烧后，$y$与$x$成反比例关系(图2-5). 现测得药物10 min燃烧完，此时教室内空气含药量为$8\ \mathrm{mg/m}^3$.
（1）求药物燃烧时$y$关于$x$的函数表达式；
（2）求药物燃烧后$y$关于$x$的函数表达式；
（3）如果只有当空气含药量低于$1.6\ \mathrm{mg/m}^3$时，才不会对人体产生毒害作用，那么消毒后经过多长时间学生才可以回到教室？
（1）求药物燃烧时$y$关于$x$的函数表达式；
（2）求药物燃烧后$y$关于$x$的函数表达式；
（3）如果只有当空气含药量低于$1.6\ \mathrm{mg/m}^3$时，才不会对人体产生毒害作用，那么消毒后经过多长时间学生才可以回到教室？
答案：(1) $y=\frac{4}{5}x$
(2) $y=\frac{80}{x}$
(3) 令$y=1.6$,代入$y=\frac{80}{x}$,得$x=50$,经50 min学生才可以回到教室
(2) $y=\frac{80}{x}$
(3) 令$y=1.6$,代入$y=\frac{80}{x}$,得$x=50$,经50 min学生才可以回到教室
解析：
【分析】
本题分三步思考求解：
1. 求燃烧时的函数表达式：已知燃烧阶段y与x成正比例，先设正比例函数的一般形式$y=k_1x(k_1≠0)$，再代入已知点$(10,8)$求出参数即可得到解析式。
2. 求燃烧后的函数表达式：已知燃烧后y与x成反比例，设反比例函数的一般形式$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，同样代入点$(10,8)$求出参数即可。
3. 求学生可返回教室的时间：燃烧后含药量随时间增大而降低，因此只需将$y=1.6$代入反比例解析式，求出对应的x值，就是需要等待的最短时间。
【解析】
（1）设药物燃烧时$y$关于$x$的函数表达式为$y=k_1x(k_1≠0)$，适用范围为$0≤ x≤10$。
把$x=10$，$y=8$代入表达式得：$8=10k_1$，解得$k_1=\frac{4}{5}$。
因此药物燃烧时的函数表达式为$y=\frac{4}{5}x(0≤ x≤10)$。
（2）设药物燃烧后$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，适用范围为$x≥10$。
把$x=10$，$y=8$代入表达式得：$8=\frac{k_2}{10}$，解得$k_2=8×10=80$。
因此药物燃烧后的函数表达式为$y=\frac{80}{x}(x≥10)$。
（3）要求含药量低于$1.6\ \mathrm{mg/m^3}$，即$y＜1.6$，将$y=1.6$代入燃烧后的反比例函数：
$1.6=\frac{80}{x}$，解得$x=\frac{80}{1.6}=50$。
因为燃烧后$y$随$x$增大而减小，所以当$x＞50$时，$y＜1.6$，即消毒后经过50min学生才可回到教室。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{5}x$
(2) $y=\frac{80}{x}$
(3) 50 min
【知识点】
正比例函数，反比例函数，函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查正反比例函数的应用，解题关键是根据函数类型设出对应解析式，结合已知点求出参数，再利用函数性质解决实际问题，应用性较强。
【难度系数】
0.7
本题分三步思考求解：
1. 求燃烧时的函数表达式：已知燃烧阶段y与x成正比例，先设正比例函数的一般形式$y=k_1x(k_1≠0)$，再代入已知点$(10,8)$求出参数即可得到解析式。
2. 求燃烧后的函数表达式：已知燃烧后y与x成反比例，设反比例函数的一般形式$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，同样代入点$(10,8)$求出参数即可。
3. 求学生可返回教室的时间：燃烧后含药量随时间增大而降低，因此只需将$y=1.6$代入反比例解析式，求出对应的x值，就是需要等待的最短时间。
【解析】
（1）设药物燃烧时$y$关于$x$的函数表达式为$y=k_1x(k_1≠0)$，适用范围为$0≤ x≤10$。
把$x=10$，$y=8$代入表达式得：$8=10k_1$，解得$k_1=\frac{4}{5}$。
因此药物燃烧时的函数表达式为$y=\frac{4}{5}x(0≤ x≤10)$。
（2）设药物燃烧后$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，适用范围为$x≥10$。
把$x=10$，$y=8$代入表达式得：$8=\frac{k_2}{10}$，解得$k_2=8×10=80$。
因此药物燃烧后的函数表达式为$y=\frac{80}{x}(x≥10)$。
（3）要求含药量低于$1.6\ \mathrm{mg/m^3}$，即$y＜1.6$，将$y=1.6$代入燃烧后的反比例函数：
$1.6=\frac{80}{x}$，解得$x=\frac{80}{1.6}=50$。
因为燃烧后$y$随$x$增大而减小，所以当$x＞50$时，$y＜1.6$，即消毒后经过50min学生才可回到教室。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{5}x$
(2) $y=\frac{80}{x}$
(3) 50 min
【知识点】
正比例函数，反比例函数，函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查正反比例函数的应用，解题关键是根据函数类型设出对应解析式，结合已知点求出参数，再利用函数性质解决实际问题，应用性较强。
【难度系数】
0.7
1. 对于函数$y=\frac{6}{x}$，下列说法中，错误的是 （
A.它的图象分布在第一、三象限
B.它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C.当$x＞0$时，$y$的值随$x$的增大而增大
D.当$x＜0$时，$y$的值随$x$的增大而减小
C
）A.它的图象分布在第一、三象限
B.它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C.当$x＞0$时，$y$的值随$x$的增大而增大
D.当$x＜0$时，$y$的值随$x$的增大而减小
答案：C
解析：
【分析】
本题考查反比例函数$y=\frac{k}{x}$的基本性质，解题时先确定比例系数$k$的正负，再结合反比例函数的图象分布、对称性、增减性逐一判断每个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
函数$y=\frac{6}{x}$是反比例函数，其中比例系数$k=6＞0$：
选项A：当$k＞0$时，反比例函数的图象分布在第一、三象限，A说法正确，不符合题意；
选项B：反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形（对称轴为直线$y=x$和$y=-x$），又是中心对称图形（对称中心为坐标原点），B说法正确，不符合题意；
选项C：当$k＞0$时，在每个象限内$y$的值随$x$的增大而减小，因此$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，C说法错误，符合题意；
选项D：同理，当$x＜0$时，图象在第三象限，$y$的值随$x$的增大而减小，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的对称性；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数的基本性质，解题的关键是明确比例系数$k$的正负对函数图象和性质的影响，注意增减性的前提是“在每个象限内”。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数$y=\frac{k}{x}$的基本性质，解题时先确定比例系数$k$的正负，再结合反比例函数的图象分布、对称性、增减性逐一判断每个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
函数$y=\frac{6}{x}$是反比例函数，其中比例系数$k=6＞0$：
选项A：当$k＞0$时，反比例函数的图象分布在第一、三象限，A说法正确，不符合题意；
选项B：反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形（对称轴为直线$y=x$和$y=-x$），又是中心对称图形（对称中心为坐标原点），B说法正确，不符合题意；
选项C：当$k＞0$时，在每个象限内$y$的值随$x$的增大而减小，因此$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，C说法错误，符合题意；
选项D：同理，当$x＜0$时，图象在第三象限，$y$的值随$x$的增大而减小，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的对称性；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数的基本性质，解题的关键是明确比例系数$k$的正负对函数图象和性质的影响，注意增减性的前提是“在每个象限内”。
【难度系数】
0.8
2. 反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象在其每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，$k$的值可以是 （
A.$-1$
B.$3$
C.$0$
D.$-3$
B
）A.$-1$
B.$3$
C.$0$
D.$-3$
答案：B
解析：
【分析】
首先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）中，当$m＞0$时，图象在一、三象限，每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，图象在二、四象限，每个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题已知函数在每个象限内$y$随$x$增大而减小，因此可以先列出关于$k$的不等式，解出$k$的取值范围，再对比选项选出符合条件的数值即可。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$，由其图象在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，可得比例系数大于0，即：
$k-1＞0$
解得$k＞1$
对比四个选项：
A.$-1＜1$，不符合要求；
B.$3＞1$，符合要求；
C.$0＜1$，不符合要求；
D.$-3＜1$，不符合要求。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数的增减性与比例系数的对应关系，牢记反比例函数的增减性规律是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）中，当$m＞0$时，图象在一、三象限，每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，图象在二、四象限，每个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题已知函数在每个象限内$y$随$x$增大而减小，因此可以先列出关于$k$的不等式，解出$k$的取值范围，再对比选项选出符合条件的数值即可。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$，由其图象在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，可得比例系数大于0，即：
$k-1＞0$
解得$k＞1$
对比四个选项：
A.$-1＜1$，不符合要求；
B.$3＞1$，符合要求；
C.$0＜1$，不符合要求；
D.$-3＜1$，不符合要求。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数的增减性与比例系数的对应关系，牢记反比例函数的增减性规律是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I A与电阻R Ω是反比例函数关系，它的图象如图所示. 当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是（
A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
A
）A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
答案：A
解析：
【分析】
首先，题目明确电流I与电阻R是反比例函数关系，我们可以先设出反比例函数的一般形式，再利用图象给出的已知点（R=9Ω，I=4A）求出函数解析式，之后结合反比例函数的增减性，判断当R＞9Ω时电流I的取值范围，最后对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：
∵电流I与电阻R是反比例函数关系，
∴设该反比例函数的解析式为$ I=\frac{k}{R} $（$ k≠0 $，k为定值）。
将$ R=9\ \Omega $，$ I=4\ \mathrm{A} $代入解析式，得：
$ 4=\frac{k}{9} $，解得$ k=36 $，
∴反比例函数解析式为$ I=\frac{36}{R} \ (R＞0) $。
∵$ k=36＞0 $，
∴在第一象限内，I随R的增大而减小，
当$ R＞9\ \Omega $时，$ I＜\frac{36}{9}=4\ \mathrm{A} $，且电流为正数，即$ 0＜I＜4\ \mathrm{A} $。
观察选项，只有3A符合该取值范围。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合电学常识考查反比例函数的实际应用，解题核心是用待定系数法求出反比例函数解析式，再结合函数增减性判断取值范围，属于基础应用题，掌握反比例函数基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先，题目明确电流I与电阻R是反比例函数关系，我们可以先设出反比例函数的一般形式，再利用图象给出的已知点（R=9Ω，I=4A）求出函数解析式，之后结合反比例函数的增减性，判断当R＞9Ω时电流I的取值范围，最后对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：
∵电流I与电阻R是反比例函数关系，
∴设该反比例函数的解析式为$ I=\frac{k}{R} $（$ k≠0 $，k为定值）。
将$ R=9\ \Omega $，$ I=4\ \mathrm{A} $代入解析式，得：
$ 4=\frac{k}{9} $，解得$ k=36 $，
∴反比例函数解析式为$ I=\frac{36}{R} \ (R＞0) $。
∵$ k=36＞0 $，
∴在第一象限内，I随R的增大而减小，
当$ R＞9\ \Omega $时，$ I＜\frac{36}{9}=4\ \mathrm{A} $，且电流为正数，即$ 0＜I＜4\ \mathrm{A} $。
观察选项，只有3A符合该取值范围。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合电学常识考查反比例函数的实际应用，解题核心是用待定系数法求出反比例函数解析式，再结合函数增减性判断取值范围，属于基础应用题，掌握反比例函数基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8