18. 如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中$AB=2BC$，设点A，B，C对应的数之和为$m$.
（1）若C为原点，$BC=1$，则点A对应的数为
（2）若B为原点，$AC=9$，求$m$的值；
（3）若原点O到点C的距离为6，且$OC=AB$，直接写出$m$的值.
（1）若C为原点，$BC=1$，则点A对应的数为
$-3$
，点B对应的数为$-1$
，$m$的值为$-4$
；（2）若B为原点，$AC=9$，求$m$的值；
（3）若原点O到点C的距离为6，且$OC=AB$，直接写出$m$的值.
答案：18. (1) $-3,-1,-4$ (2) $-3$ (3) $6$或$-30$
解析：
【分析】
本题核心利用数轴上“右边的数总比左边的数大”“两点间距离等于右边点对应数减去左边点对应数”的规律解题：（1）先由C为原点、BC长度确定B对应的数，再结合AB=2BC求出A对应的数，三者求和得m；（2）先根据AC=9和AB=2BC的关系求出AB、BC的长度，结合B为原点确定A、C对应的数后求和；（3）原点到C的距离为6，说明C对应的数有6和-6两种可能，结合OC=AB、AB=2BC求出BC长度，再分别确定两种情况里A、B对应的数，分情况计算m即可。
【解析】
（1）
∵C为原点，
∴点C对应的数是0。
∵BC=1，点B在C左侧，
∴点B对应的数为$0-1=-1$。
又
∵$AB=2BC=2×1=2$，点A在B左侧，
∴点A对应的数为$-1-2=-3$。
∴$m=-3+(-1)+0=-4$。
（2）
∵B为原点，
∴点B对应的数是0。
∵$AC=AB+BC=9$，且$AB=2BC$，代入得$2BC+BC=9$，解得$BC=3$，$AB=6$。
∵点A在B左侧，点C在B右侧，
∴点A对应的数为$0-6=-6$，点C对应的数为$0+3=3$。
∴$m=-6+0+3=-3$。
（3）
∵原点O到C的距离为6，
∴点C对应的数为6或-6，且$OC=AB=6$。
∵$AB=2BC$，
∴$BC=6÷2=3$，分两种情况讨论：
① 当点C对应的数为6时：点B在C左侧，对应数为$6-3=3$；点A在B左侧，对应数为$3-6=-3$，此时$m=-3+3+6=6$。
② 当点C对应的数为-6时：点B在C左侧，对应数为$-6-3=-9$；点A在B左侧，对应数为$-9-6=-15$，此时$m=-15+(-9)+(-6)=-30$。
综上，m的值为6或-30。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{-4}$；（2）$\boldsymbol{-3}$；（3）$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{-30}$
【知识点】
数轴的应用，两点间距离，分类讨论
【点评】
本题考查数轴上点与有理数的对应转化，解题关键是将点之间的距离关系转化为对应数的数量关系，易错点是第（3）问忽略原点位置的两种可能性，出现漏解。
【难度系数】
0.6
本题核心利用数轴上“右边的数总比左边的数大”“两点间距离等于右边点对应数减去左边点对应数”的规律解题：（1）先由C为原点、BC长度确定B对应的数，再结合AB=2BC求出A对应的数，三者求和得m；（2）先根据AC=9和AB=2BC的关系求出AB、BC的长度，结合B为原点确定A、C对应的数后求和；（3）原点到C的距离为6，说明C对应的数有6和-6两种可能，结合OC=AB、AB=2BC求出BC长度，再分别确定两种情况里A、B对应的数，分情况计算m即可。
【解析】
（1）
∵C为原点，
∴点C对应的数是0。
∵BC=1，点B在C左侧，
∴点B对应的数为$0-1=-1$。
又
∵$AB=2BC=2×1=2$，点A在B左侧，
∴点A对应的数为$-1-2=-3$。
∴$m=-3+(-1)+0=-4$。
（2）
∵B为原点，
∴点B对应的数是0。
∵$AC=AB+BC=9$，且$AB=2BC$，代入得$2BC+BC=9$，解得$BC=3$，$AB=6$。
∵点A在B左侧，点C在B右侧，
∴点A对应的数为$0-6=-6$，点C对应的数为$0+3=3$。
∴$m=-6+0+3=-3$。
（3）
∵原点O到C的距离为6，
∴点C对应的数为6或-6，且$OC=AB=6$。
∵$AB=2BC$，
∴$BC=6÷2=3$，分两种情况讨论：
① 当点C对应的数为6时：点B在C左侧，对应数为$6-3=3$；点A在B左侧，对应数为$3-6=-3$，此时$m=-3+3+6=6$。
② 当点C对应的数为-6时：点B在C左侧，对应数为$-6-3=-9$；点A在B左侧，对应数为$-9-6=-15$，此时$m=-15+(-9)+(-6)=-30$。
综上，m的值为6或-30。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{-4}$；（2）$\boldsymbol{-3}$；（3）$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{-30}$
【知识点】
数轴的应用，两点间距离，分类讨论
【点评】
本题考查数轴上点与有理数的对应转化，解题关键是将点之间的距离关系转化为对应数的数量关系，易错点是第（3）问忽略原点位置的两种可能性，出现漏解。
【难度系数】
0.6
19. 分类讨论是一种重要的数学思想. 请你解答下列问题：
(1) 当$ab＜0$时，若$b＞0$，$|a|＜|b|$，则$a+b$
(2) 当$abc＜0$时，若$ab＞0$，则$c$
(3) 已知$a$，$b$，$c$是非零有理数，则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=$
(4) 若$a$与$b$都是整数，且$|a|+|b|=1$，求$a+b$的值.（写出分类讨论的过程）
(1) 当$ab＜0$时，若$b＞0$，$|a|＜|b|$，则$a+b$
$＞$
$0$；(2) 当$abc＜0$时，若$ab＞0$，则$c$
$＜$
$0$；(3) 已知$a$，$b$，$c$是非零有理数，则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=$
$\pm3$或$\pm1$
；(4) 若$a$与$b$都是整数，且$|a|+|b|=1$，求$a+b$的值.（写出分类讨论的过程）
答案：19. (1) $＞$ (2) $＜$ (3) $\pm3$或$\pm1$ (4) $\pm1$.分情况讨论:① $a=1$,$b=0$,此时$a+b=1$;② $a=0$,$b=1$,此时$a+b=1$;③ $a=-1$,$b=0$,此时$a+b=-1$;④ $a=0$,$b=-1$,此时$a+b=-1$
解析：
【分析】
本题主要结合有理数符号法则、绝对值性质考察分类讨论思想，解题思路如下：
(1) 先由$ab＜0$判断$a$、$b$异号，结合$b＞0$得$a$为负，再根据异号两数相加的符号规律：和的符号与绝对值更大的数一致，结合$|a|＜|b|$即可判断$a+b$的符号；
(2) 先将$ab$看作整体，由$ab＞0$得$ab$为正，再根据多个有理数相乘的符号法则：积为负时负因数个数为奇数，即可判断$c$的符号；
(3) 首先明确非零有理数$x$满足$\frac{x}{|x|}$只能取$1$（$x＞0$）或$-1$（$x＜0$），再对$a$、$b$、$c$的正负个数分四类讨论，分别计算求和即可；
(4) 由绝对值的非负性、$a$和$b$是整数的条件，可知$|a|$和$|b|$中一个为$1$、另一个为$0$，分四类列举所有可能的$a$、$b$取值，计算$a+b$即可。
【解析】
(1) $\because ab＜0$，$\therefore a$、$b$异号，又$\because b＞0$，$\therefore a＜0$，
异号两数相加，和的符号与绝对值较大的数的符号相同，
$\because |a|＜|b|$，$\therefore a+b$的符号与$b$一致，即$a+b＞0$；
(2) $\because ab＞0$，$\therefore ab$的结果为正数，
又$\because abc＜0$，即正数$× c＜0$，$\therefore c＜0$；
(3) 对任意非零有理数$x$，当$x＞0$时，$\frac{x}{|x|}=1$；当$x＜0$时，$\frac{x}{|x|}=-1$，分四种情况讨论：
①若$a$、$b$、$c$均为正数：原式$=1+1+1=3$；
②若$a$、$b$、$c$两正一负：原式$=1+1-1=1$；
③若$a$、$b$、$c$一正两负：原式$=1-1-1=-1$；
④若$a$、$b$、$c$均为负数：原式$=-1-1-1=-3$；
综上，原式的值为$\pm3$或$\pm1$；
(4) $\because a$、$b$都是整数，$|a|≥0$，$|b|≥0$，且$|a|+|b|=1$，
$\therefore$只能是其中一个数的绝对值为$1$，另一个数的绝对值为$0$，分情况讨论：
①当$a=1$，$b=0$时，$a+b=1+0=1$；
②当$a=0$，$b=1$时，$a+b=0+1=1$；
③当$a=-1$，$b=0$时，$a+b=-1+0=-1$；
④当$a=0$，$b=-1$时，$a+b=0+(-1)=-1$；
综上，$a+b$的值为$\pm1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＞}$；(2) $\boldsymbol{＜}$；(3) $\boldsymbol{\pm3}$或$\boldsymbol{\pm1}$；(4) $\boldsymbol{\pm1}$
【知识点】
有理数符号运算，绝对值的性质，分类讨论思想
【点评】
本题围绕有理数运算与绝对值的核心性质设计，重点考查分类讨论的数学思想，解题时需注意不重不漏地列举所有符合条件的情况，熟练掌握异号两数相加、多个有理数相乘的符号判断法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题主要结合有理数符号法则、绝对值性质考察分类讨论思想，解题思路如下：
(1) 先由$ab＜0$判断$a$、$b$异号，结合$b＞0$得$a$为负，再根据异号两数相加的符号规律：和的符号与绝对值更大的数一致，结合$|a|＜|b|$即可判断$a+b$的符号；
(2) 先将$ab$看作整体，由$ab＞0$得$ab$为正，再根据多个有理数相乘的符号法则：积为负时负因数个数为奇数，即可判断$c$的符号；
(3) 首先明确非零有理数$x$满足$\frac{x}{|x|}$只能取$1$（$x＞0$）或$-1$（$x＜0$），再对$a$、$b$、$c$的正负个数分四类讨论，分别计算求和即可；
(4) 由绝对值的非负性、$a$和$b$是整数的条件，可知$|a|$和$|b|$中一个为$1$、另一个为$0$，分四类列举所有可能的$a$、$b$取值，计算$a+b$即可。
【解析】
(1) $\because ab＜0$，$\therefore a$、$b$异号，又$\because b＞0$，$\therefore a＜0$，
异号两数相加，和的符号与绝对值较大的数的符号相同，
$\because |a|＜|b|$，$\therefore a+b$的符号与$b$一致，即$a+b＞0$；
(2) $\because ab＞0$，$\therefore ab$的结果为正数，
又$\because abc＜0$，即正数$× c＜0$，$\therefore c＜0$；
(3) 对任意非零有理数$x$，当$x＞0$时，$\frac{x}{|x|}=1$；当$x＜0$时，$\frac{x}{|x|}=-1$，分四种情况讨论：
①若$a$、$b$、$c$均为正数：原式$=1+1+1=3$；
②若$a$、$b$、$c$两正一负：原式$=1+1-1=1$；
③若$a$、$b$、$c$一正两负：原式$=1-1-1=-1$；
④若$a$、$b$、$c$均为负数：原式$=-1-1-1=-3$；
综上，原式的值为$\pm3$或$\pm1$；
(4) $\because a$、$b$都是整数，$|a|≥0$，$|b|≥0$，且$|a|+|b|=1$，
$\therefore$只能是其中一个数的绝对值为$1$，另一个数的绝对值为$0$，分情况讨论：
①当$a=1$，$b=0$时，$a+b=1+0=1$；
②当$a=0$，$b=1$时，$a+b=0+1=1$；
③当$a=-1$，$b=0$时，$a+b=-1+0=-1$；
④当$a=0$，$b=-1$时，$a+b=0+(-1)=-1$；
综上，$a+b$的值为$\pm1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＞}$；(2) $\boldsymbol{＜}$；(3) $\boldsymbol{\pm3}$或$\boldsymbol{\pm1}$；(4) $\boldsymbol{\pm1}$
【知识点】
有理数符号运算，绝对值的性质，分类讨论思想
【点评】
本题围绕有理数运算与绝对值的核心性质设计，重点考查分类讨论的数学思想，解题时需注意不重不漏地列举所有符合条件的情况，熟练掌握异号两数相加、多个有理数相乘的符号判断法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
20. 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：$|6+7|=6+7$，$|6-7|=7-6$，$|7-6|=7-6$，$|-6-7|=6+7$.请解决下列问题.
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）：
① $|3.5-7|=$
（2）计算：$\left|\dfrac{1}{6}-\dfrac{12}{25}\right|+\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{12}{25}\right|+\dfrac{1}{6}=$
（3）用简便方法计算：$\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right|+\left|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right|+\left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}\right|+\dots+\left|\dfrac{1}{2025}-\dfrac{1}{2024}\right|$.
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）：
① $|3.5-7|=$
$7-3.5$
；② $\left|-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\right|=$$\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}$
.（2）计算：$\left|\dfrac{1}{6}-\dfrac{12}{25}\right|+\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{12}{25}\right|+\dfrac{1}{6}=$
$\dfrac{1}{2}$
.（3）用简便方法计算：$\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right|+\left|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right|+\left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}\right|+\dots+\left|\dfrac{1}{2025}-\dfrac{1}{2024}\right|$.
答案：20. (1) ① $7-3.5$ ② $\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}$ (2) $\dfrac{1}{2}$ (3) 原式$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2023}{4050}$
解析：
【分析】
解题核心是掌握绝对值的化简规则：若绝对值内的运算结果为非负数，去绝对值后等于它本身；若绝对值内的运算结果为负数，去绝对值后等于它的相反数。
（1）先判断绝对值内两个数的大小，确定差的正负，再按规则去绝对值即可；
（2）先分别判断两个绝对值内式子的正负，去绝对值后再合并同类项计算；
（3）先逐个去绝对值，可发现中间项一加一减刚好抵消，仅剩余首尾两项，直接计算首尾的差即可，无需逐项运算。
【解析】
（1）①
∵3.5＜7，
∴3.5-7＜0，因此$|3.5-7|=7-3.5$；
②
∵$-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}$，且$\dfrac{4}{5}＞\dfrac{1}{2}$，
∴$\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}＞0$，因此$\left|-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\right|=\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}$；
（2）先判断绝对值内式子的正负：
$\dfrac{1}{6}\approx0.167$，$\dfrac{12}{25}=0.48$，$\dfrac{1}{2}=0.5$，因此$\dfrac{1}{6}＜\dfrac{12}{25}＜\dfrac{1}{2}$，
则原式$=(\dfrac{12}{25}-\dfrac{1}{6})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{12}{25})+\dfrac{1}{6}$
$=\dfrac{12}{25}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{12}{25}+\dfrac{1}{6}$
$=\dfrac{1}{2}$；
（3）
∵分子相同的正分数，分母越大分数越小，因此$\dfrac{1}{3}＜\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{4}＜\dfrac{1}{3}$，……，$\dfrac{1}{2025}＜\dfrac{1}{2024}$，
每个绝对值内的差均为负数，去绝对值后为大数减小数：
原式$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2025}$
中间的$-\dfrac{1}{3}$与$+\dfrac{1}{3}$、$-\dfrac{1}{4}$与$+\dfrac{1}{4}$……$-\dfrac{1}{2024}$与$+\dfrac{1}{2024}$均抵消，剩余：
$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2025}$
$=\dfrac{2025}{4050}-\dfrac{2}{4050}$
$=\dfrac{2023}{4050}$
【答案】
(1) ① $7-3.5$；② $\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}$；(2) $\dfrac{1}{2}$；(3) $\dfrac{2023}{4050}$
【知识点】
绝对值的性质，分数加减运算，裂项抵消
【点评】
本题重点考查绝对值的化简方法，解题关键是先判断绝对值内表达式的正负再去绝对值符号，第三问通过观察去绝对值后式子的结构特征，利用抵消法简化计算，能有效提升观察能力和简便运算意识。
【难度系数】
0.7
解题核心是掌握绝对值的化简规则：若绝对值内的运算结果为非负数，去绝对值后等于它本身；若绝对值内的运算结果为负数，去绝对值后等于它的相反数。
（1）先判断绝对值内两个数的大小，确定差的正负，再按规则去绝对值即可；
（2）先分别判断两个绝对值内式子的正负，去绝对值后再合并同类项计算；
（3）先逐个去绝对值，可发现中间项一加一减刚好抵消，仅剩余首尾两项，直接计算首尾的差即可，无需逐项运算。
【解析】
（1）①
∵3.5＜7，
∴3.5-7＜0，因此$|3.5-7|=7-3.5$；
②
∵$-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}$，且$\dfrac{4}{5}＞\dfrac{1}{2}$，
∴$\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}＞0$，因此$\left|-\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}\right|=\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}$；
（2）先判断绝对值内式子的正负：
$\dfrac{1}{6}\approx0.167$，$\dfrac{12}{25}=0.48$，$\dfrac{1}{2}=0.5$，因此$\dfrac{1}{6}＜\dfrac{12}{25}＜\dfrac{1}{2}$，
则原式$=(\dfrac{12}{25}-\dfrac{1}{6})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{12}{25})+\dfrac{1}{6}$
$=\dfrac{12}{25}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{12}{25}+\dfrac{1}{6}$
$=\dfrac{1}{2}$；
（3）
∵分子相同的正分数，分母越大分数越小，因此$\dfrac{1}{3}＜\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{4}＜\dfrac{1}{3}$，……，$\dfrac{1}{2025}＜\dfrac{1}{2024}$，
每个绝对值内的差均为负数，去绝对值后为大数减小数：
原式$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2025}$
中间的$-\dfrac{1}{3}$与$+\dfrac{1}{3}$、$-\dfrac{1}{4}$与$+\dfrac{1}{4}$……$-\dfrac{1}{2024}$与$+\dfrac{1}{2024}$均抵消，剩余：
$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2025}$
$=\dfrac{2025}{4050}-\dfrac{2}{4050}$
$=\dfrac{2023}{4050}$
【答案】
(1) ① $7-3.5$；② $\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{2}$；(2) $\dfrac{1}{2}$；(3) $\dfrac{2023}{4050}$
【知识点】
绝对值的性质，分数加减运算，裂项抵消
【点评】
本题重点考查绝对值的化简方法，解题关键是先判断绝对值内表达式的正负再去绝对值符号，第三问通过观察去绝对值后式子的结构特征，利用抵消法简化计算，能有效提升观察能力和简便运算意识。
【难度系数】
0.7