1. 在$△ ABC$中，$∠ A=30°$.
（1）若点$O$是$△ ABC$的外心，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_°$；
（2）若点$O$是$△ ABC$的内心，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_°$.
（1）若点$O$是$△ ABC$的外心，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_°$；
（2）若点$O$是$△ ABC$的内心，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_°$.
答案：(1) $\boldsymbol{60}$；(2) $\boldsymbol{105}$
解析：
解：
(1) 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵点O是△ABC的外心，∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°。
(2) ∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-30°=150°，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)
=180°-$\frac{1}{2}$×150°
=105°。
(1) 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵点O是△ABC的外心，∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°。
(2) ∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-30°=150°，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)
=180°-$\frac{1}{2}$×150°
=105°。
2. 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形的高的比为（）
A.$1:2:3$
B.$2:3:4$
C.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$1:\sqrt{3}:2$
A.$1:2:3$
B.$2:3:4$
C.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$1:\sqrt{3}:2$
答案：A
解析：
设等边三角形的边长为a，
1. 计算等边三角形的高：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$；
2. 等边三角形的内心、外心、重心重合，重心将高分为$2:1$的两段：
内切圆半径$r$是高的$\frac{1}{3}$，即$r=\frac{1}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{6}a$；
外接圆半径$R$是高的$\frac{2}{3}$，即$R=\frac{2}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{3}a$；
3. 求比值：$r:R:h=\frac{\sqrt{3}}{6}a:\frac{\sqrt{3}}{3}a:\frac{\sqrt{3}}{2}a=1:2:3$。
1. 计算等边三角形的高：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$；
2. 等边三角形的内心、外心、重心重合，重心将高分为$2:1$的两段：
内切圆半径$r$是高的$\frac{1}{3}$，即$r=\frac{1}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{6}a$；
外接圆半径$R$是高的$\frac{2}{3}$，即$R=\frac{2}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{3}a$；
3. 求比值：$r:R:h=\frac{\sqrt{3}}{6}a:\frac{\sqrt{3}}{3}a:\frac{\sqrt{3}}{2}a=1:2:3$。
3. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$，$∠ A=40°$，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_°$，$∠ EDF=\_\_\_\_\_\_°$。
答案：$\boldsymbol{110}$，$\boldsymbol{50}$。
解析：
解：
∵ $\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴ $OB$平分$∠ ABC$，$OC$平分$∠ ACB$，
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
∵ $∠ A = 40°$，
∴ $∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 140°$，
∴ $∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = 70°$，
∴ $∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 110°$。
连接$OE$、$OF$，
∵ $E$、$F$是$\odot O$的切点，
∴ $OE⊥ AC$，$OF⊥ AB$，即$∠ OEA = ∠ OFA = 90°$，
在四边形$AEOF$中，
$∠ EOF = 360° - ∠ A - ∠ OEA - ∠ OFA = 360° - 40° - 90° - 90° = 100°$，
∵ $∠ EDF$是弧$EF$所对的圆周角，$∠ EOF$是弧$EF$所对的圆心角，
∴ $∠ EDF = \frac{1}{2}∠ EOF = 50°$。
∵ $\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴ $OB$平分$∠ ABC$，$OC$平分$∠ ACB$，
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
∵ $∠ A = 40°$，
∴ $∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 140°$，
∴ $∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = 70°$，
∴ $∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 110°$。
连接$OE$、$OF$，
∵ $E$、$F$是$\odot O$的切点，
∴ $OE⊥ AC$，$OF⊥ AB$，即$∠ OEA = ∠ OFA = 90°$，
在四边形$AEOF$中，
$∠ EOF = 360° - ∠ A - ∠ OEA - ∠ OFA = 360° - 40° - 90° - 90° = 100°$，
∵ $∠ EDF$是弧$EF$所对的圆周角，$∠ EOF$是弧$EF$所对的圆心角，
∴ $∠ EDF = \frac{1}{2}∠ EOF = 50°$。
4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$O$是内心,若$CO=2$,$△ ABC$的周长为$16$,则$△ ABC$的面积为（）
A.$16\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$16$
D.$32$
A.$16\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$16$
D.$32$
答案：B
解析：
过点O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F。
∵O是Rt△ABC的内心，∠ACB=90°，
∴OC平分∠ACB，OD=OE=OF=r（r为△ABC内切圆半径），四边形ODCE是正方形，
∴∠OCD=45°，在Rt△ODC中，OD=OC·sin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，即r=$\sqrt{2}$。
根据三角形内切圆面积公式$S=\frac{1}{2}·r·(AC+BC+AB)$，已知△ABC周长为16，代入得$S=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×16=8\sqrt{2}$。
∵O是Rt△ABC的内心，∠ACB=90°，
∴OC平分∠ACB，OD=OE=OF=r（r为△ABC内切圆半径），四边形ODCE是正方形，
∴∠OCD=45°，在Rt△ODC中，OD=OC·sin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，即r=$\sqrt{2}$。
根据三角形内切圆面积公式$S=\frac{1}{2}·r·(AC+BC+AB)$，已知△ABC周长为16，代入得$S=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×16=8\sqrt{2}$。
5. 任意画一个三角形，分别作出这个三角形的外接圆和内切圆.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
答案：解：
1. 任意作△ABC；
2. 作△ABC任意两边的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O即为△ABC的外接圆；
3. 作△ABC任意两个内角的角平分线，两线交于点I，过点I作ID⊥AB，垂足为D，以I为圆心，ID的长为半径画圆，⊙I即为△ABC的内切圆。
作图保留垂直平分线、角平分线的尺规作图圆弧痕迹，无需额外标注作法，最终图形同时包含所作三角形、外接圆、内切圆及对应辅助作图痕迹即可。
1. 任意作△ABC；
2. 作△ABC任意两边的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O即为△ABC的外接圆；
3. 作△ABC任意两个内角的角平分线，两线交于点I，过点I作ID⊥AB，垂足为D，以I为圆心，ID的长为半径画圆，⊙I即为△ABC的内切圆。
作图保留垂直平分线、角平分线的尺规作图圆弧痕迹，无需额外标注作法，最终图形同时包含所作三角形、外接圆、内切圆及对应辅助作图痕迹即可。