5. 如图，AB是$\odot O$的直径，AC，BD是$\odot O$的切线，切点分别为A，B，EF分别交AC，BD于点E，F，且EO平分$∠ AEF$。
（1）EF与$\odot O$相切吗？为什么？
（2）设$AE=4$，$BF=9$，求$\odot O$的半径。
（1）EF与$\odot O$相切吗？为什么？
（2）设$AE=4$，$BF=9$，求$\odot O$的半径。
答案：解：(1) EF与$\odot O$相切，理由如下：
过点$O$作$OH ⊥ EF$于点$H$。
$\because AC$是$\odot O$的切线，切点为$A$，
$\therefore OA ⊥ AC$。
$\because EO$平分$∠ AEF$，$OH ⊥ EF$，$OA ⊥ AE$，
$\therefore OA=OH$。
又$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore OH$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$与$\odot O$相切。
(2) 过点$E$作$EG ⊥ BD$，垂足为$G$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$AC$、$BD$是$\odot O$的切线，
$\therefore AB ⊥ AC$，$AB ⊥ BD$，
$\therefore$ 四边形$ABGE$是矩形，
$\therefore EG=AB$，$BG=AE=4$。
$\therefore GF=BF - BG=9-4=5$。
$\because AC$、$EF$、$BD$都是$\odot O$的切线，
$\therefore EH=AE=4$，$FH=BF=9$，
$\therefore EF=EH+FH=4+9=13$。
在$\mathrm{Rt}△ EGF$中，
$EG=\sqrt{EF^2 - GF^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$，
$\therefore AB=EG=12$，
$\therefore \odot O$的半径为$\dfrac{1}{2}AB=6$。
答：$\odot O$的半径为6。
过点$O$作$OH ⊥ EF$于点$H$。
$\because AC$是$\odot O$的切线，切点为$A$，
$\therefore OA ⊥ AC$。
$\because EO$平分$∠ AEF$，$OH ⊥ EF$，$OA ⊥ AE$，
$\therefore OA=OH$。
又$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore OH$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$与$\odot O$相切。
(2) 过点$E$作$EG ⊥ BD$，垂足为$G$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$AC$、$BD$是$\odot O$的切线，
$\therefore AB ⊥ AC$，$AB ⊥ BD$，
$\therefore$ 四边形$ABGE$是矩形，
$\therefore EG=AB$，$BG=AE=4$。
$\therefore GF=BF - BG=9-4=5$。
$\because AC$、$EF$、$BD$都是$\odot O$的切线，
$\therefore EH=AE=4$，$FH=BF=9$，
$\therefore EF=EH+FH=4+9=13$。
在$\mathrm{Rt}△ EGF$中，
$EG=\sqrt{EF^2 - GF^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$，
$\therefore AB=EG=12$，
$\therefore \odot O$的半径为$\dfrac{1}{2}AB=6$。
答：$\odot O$的半径为6。
6. 以正方形ABCD的边AB为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边AD于点E，若△CDE的周长为12，求直角梯形ABCE的周长。
答案：解：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=90°，
∴ AD切半圆O于点A，BC切半圆O于点B。
∵ EC切半圆O于点F，
由切线长定理得：AE=EF，BC=CF。
∵ △CDE的周长为12，
∴ DE + CD + EC = 12，
即 DE + CD + EF + FC = 12，
代入EF=AE，FC=BC，得：
DE + CD + AE + BC = 12，
整理得 (DE+AE) + CD + BC = AD + CD + BC = 12。
设正方形边长为a，由AD=CD=BC=a，得3a=12，
解得a=4，即正方形边长为4。
设AE=x，则EF=x，ED=AD-AE=4-x，EC=EF+CF=x+4。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
ED² + CD² = EC²，
即 (4-x)² + 4² = (x+4)²，
展开整理得16x=16，解得x=1，即AE=1。
∴ 直角梯形ABCE的周长为：
AB + BC + CE + AE = 4 + 4 + (1+4) + 1 = 14。
答：直角梯形ABCE的周长为14。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=90°，
∴ AD切半圆O于点A，BC切半圆O于点B。
∵ EC切半圆O于点F，
由切线长定理得：AE=EF，BC=CF。
∵ △CDE的周长为12，
∴ DE + CD + EC = 12，
即 DE + CD + EF + FC = 12，
代入EF=AE，FC=BC，得：
DE + CD + AE + BC = 12，
整理得 (DE+AE) + CD + BC = AD + CD + BC = 12。
设正方形边长为a，由AD=CD=BC=a，得3a=12，
解得a=4，即正方形边长为4。
设AE=x，则EF=x，ED=AD-AE=4-x，EC=EF+CF=x+4。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
ED² + CD² = EC²，
即 (4-x)² + 4² = (x+4)²，
展开整理得16x=16，解得x=1，即AE=1。
∴ 直角梯形ABCE的周长为：
AB + BC + CE + AE = 4 + 4 + (1+4) + 1 = 14。
答：直角梯形ABCE的周长为14。
7. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, 求作 $\odot O$, 使它经过边AB的中点,且与边AC,AB相切.(不写作法,保留作图痕迹)
答案：解：
1. 取边AB的中点D；
2. 作∠BAC的角平分线；
3. 作线段AD的垂直平分线，该垂直平分线与∠BAC的角平分线的交点即为圆心O；
4. 以O为圆心，OD的长度为半径作圆，所得的⊙O即为所求，保留上述所有作图痕迹。
1. 取边AB的中点D；
2. 作∠BAC的角平分线；
3. 作线段AD的垂直平分线，该垂直平分线与∠BAC的角平分线的交点即为圆心O；
4. 以O为圆心，OD的长度为半径作圆，所得的⊙O即为所求，保留上述所有作图痕迹。