8. 阅读材料:如图①,△ABC的周长为l,面积为S,内切圆⊙O的半径为r,探究r与S,l之间的关系.
解:连接OA,OB,OC.
∵ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· r,S_{△ OBC}=\frac{1}{2}BC· r,S_{△ OCA}=\frac{1}{2}CA· r$,
∴ $S=\frac{1}{2}AB· r+\frac{1}{2}BC· r+\frac{1}{2}CA· r=\frac{1}{2}l· r$.
∴ $r=\frac{2S}{l}$.
(1) 根据上述结论,边长分别为5,12,13的三角形的内切圆半径为;
(2) 如图②,若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),且面积为S,各边长分别为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式;
(3) 若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为$a_1,a_2,a_3,a_4,···,a_n$,猜想其内切圆半径公式.(不需说明理由)
解:连接OA,OB,OC.
∵ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· r,S_{△ OBC}=\frac{1}{2}BC· r,S_{△ OCA}=\frac{1}{2}CA· r$,
∴ $S=\frac{1}{2}AB· r+\frac{1}{2}BC· r+\frac{1}{2}CA· r=\frac{1}{2}l· r$.
∴ $r=\frac{2S}{l}$.
(1) 根据上述结论,边长分别为5,12,13的三角形的内切圆半径为;
(2) 如图②,若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),且面积为S,各边长分别为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式;
(3) 若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为$a_1,a_2,a_3,a_4,···,a_n$,猜想其内切圆半径公式.(不需说明理由)
答案：(1) $\boldsymbol{2}$
解析：
解：
(1) ∵ $5^2 + 12^2 = 13^2$，
∴ 该三角形为直角三角形，
其面积 $S = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$，
周长 $l = 5 + 12 + 13 = 30$，
代入公式 $r = \frac{2S}{l}$，得 $r = \frac{2 × 30}{30} = 2$。
(2) 设四边形ABCD内切圆的圆心为O，内切圆半径为r，连接OA、OB、OC、OD。
∵ $S_{△ OAB} = \frac{1}{2} · a · r$，$S_{△ OBC} = \frac{1}{2} · b · r$，$S_{△ OCD} = \frac{1}{2} · c · r$，$S_{△ ODA} = \frac{1}{2} · d · r$，
∴ $S = S_{△ OAB} + S_{△ OBC} + S_{△ OCD} + S_{△ ODA}$
$= \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r + \frac{1}{2} d r$
$= \frac{1}{2}(a + b + c + d) r$，
整理得四边形内切圆半径公式：$\boldsymbol{r = \frac{2S}{a + b + c + d}}$。
(3) 猜想n边形的内切圆半径公式为：$\boldsymbol{r = \frac{2S}{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}}$。
(1) ∵ $5^2 + 12^2 = 13^2$，
∴ 该三角形为直角三角形，
其面积 $S = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$，
周长 $l = 5 + 12 + 13 = 30$，
代入公式 $r = \frac{2S}{l}$，得 $r = \frac{2 × 30}{30} = 2$。
(2) 设四边形ABCD内切圆的圆心为O，内切圆半径为r，连接OA、OB、OC、OD。
∵ $S_{△ OAB} = \frac{1}{2} · a · r$，$S_{△ OBC} = \frac{1}{2} · b · r$，$S_{△ OCD} = \frac{1}{2} · c · r$，$S_{△ ODA} = \frac{1}{2} · d · r$，
∴ $S = S_{△ OAB} + S_{△ OBC} + S_{△ OCD} + S_{△ ODA}$
$= \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r + \frac{1}{2} d r$
$= \frac{1}{2}(a + b + c + d) r$，
整理得四边形内切圆半径公式：$\boldsymbol{r = \frac{2S}{a + b + c + d}}$。
(3) 猜想n边形的内切圆半径公式为：$\boldsymbol{r = \frac{2S}{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}}$。