1. 判断下列结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)：
（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（）
（2）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（）
（3）正多边形都是轴对称图形；（）
（4）正多边形都是中心对称图形。（）
（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（）
（2）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（）
（3）正多边形都是轴对称图形；（）
（4）正多边形都是中心对称图形。（）
答案：解：
（1）√
（2）×
（3）√
（4）×
（1）√
（2）×
（3）√
（4）×
2.（1）把一个正五边形绕它的中心旋转，至少旋转°，才能与原来的位置重合；
（2）把一个正多边形绕它的中心旋转$40°$后能与原来的位置重合，则这个多边形的边数至少是。
（2）把一个正多边形绕它的中心旋转$40°$后能与原来的位置重合，则这个多边形的边数至少是。
答案：解：
(1) 正五边形的中心角为 $\frac{360°}{5}=72°$，因此绕它的中心至少旋转 $\boldsymbol{72}$ °，才能与原来的位置重合。
(2) 设这个正多边形的边数为 $n$，正多边形绕中心旋转后与原位置重合，说明旋转角是其中心角的整数倍，该正多边形的中心角为 $\frac{360°}{n}$。
由题意得：$\frac{360°}{n} · k = 40°$（$k$ 为正整数），整理得 $n=9k$。
当 $k=1$ 时，$n$ 取最小正整数9，因此这个多边形的边数至少是 $\boldsymbol{9}$。
(1) 正五边形的中心角为 $\frac{360°}{5}=72°$，因此绕它的中心至少旋转 $\boldsymbol{72}$ °，才能与原来的位置重合。
(2) 设这个正多边形的边数为 $n$，正多边形绕中心旋转后与原位置重合，说明旋转角是其中心角的整数倍，该正多边形的中心角为 $\frac{360°}{n}$。
由题意得：$\frac{360°}{n} · k = 40°$（$k$ 为正整数），整理得 $n=9k$。
当 $k=1$ 时，$n$ 取最小正整数9，因此这个多边形的边数至少是 $\boldsymbol{9}$。
3. 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，点O到正六边形的一边的距离为6，则这个正六边形的边长为，面积为。
答案：$4\sqrt{3}$；$72\sqrt{3}$
解析：
解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，由题意得边心距OH=6。
∵ 正六边形的中心角∠AOB = $\frac{360°}{6}=60°$，且OA=OB，
∴ △AOB是等边三角形，AB=OA。
在Rt△AOH中，∠AOH = $\frac{1}{2}∠ AOB=30°$，
设AH=x，则OA=2x，由勾股定理得：
$x^2 + 6^2 = (2x)^2$
解得$x=2\sqrt{3}$（负值舍去），
∴ $AB=2AH=4\sqrt{3}$。
正六边形的面积$S=6S_{△ AOB}=6×(\frac{1}{2}× AB× OH)=6×(\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×6)=72\sqrt{3}$。
∵ 正六边形的中心角∠AOB = $\frac{360°}{6}=60°$，且OA=OB，
∴ △AOB是等边三角形，AB=OA。
在Rt△AOH中，∠AOH = $\frac{1}{2}∠ AOB=30°$，
设AH=x，则OA=2x，由勾股定理得：
$x^2 + 6^2 = (2x)^2$
解得$x=2\sqrt{3}$（负值舍去），
∴ $AB=2AH=4\sqrt{3}$。
正六边形的面积$S=6S_{△ AOB}=6×(\frac{1}{2}× AB× OH)=6×(\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×6)=72\sqrt{3}$。
4. 如图，在正六边形ABCDEF中，$△ ACF$的面积为4，则正六边形ABCDEF的面积是（）
A.8
B.10
C.12
D.14
A.8
B.10
C.12
D.14
答案：C
解析：
设正六边形的边长为a，由正六边形性质可知其内角为120°，可得$AC=\sqrt{3}a$，$CF=2a$，$AF=a$，由勾股定理逆定理得$∠ FAC=90°$，因此$S_{△ ACF}=\frac{1}{2}· AF· AC=\frac{1}{2}a·\sqrt{3}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=4$。
正六边形的面积等于6个边长为a的等边三角形的面积之和，即$S_{正六边形}=6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=3×\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=3×4=12$。
正六边形的面积等于6个边长为a的等边三角形的面积之和，即$S_{正六边形}=6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=3×\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=3×4=12$。
5. 若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则正三角形与正六边形的边长之比为 （）
A.$\sqrt{6}:1$
B.$1:\sqrt{6}$
C.$\sqrt{3}:1$
D.$2:1$
A.$\sqrt{6}:1$
B.$1:\sqrt{6}$
C.$\sqrt{3}:1$
D.$2:1$
答案：A
解析：
设正三角形的边长为a，正六边形的边长为b。
1. 正三角形的面积公式为：S_正三$=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
2. 正六边形可分割为6个全等的边长为b的正三角形，因此正六边形的面积为：S_正六$=6×\frac{\sqrt{3}}{4}b^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$。
3. 由题意两图形面积相等，可得：
$ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2 $约去$\sqrt{3}$后整理得：$a^2=6b^2$，即$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{6}}{1}$。因此正三角形与正六边形的边长之比为$\sqrt{6}:1$。
1. 正三角形的面积公式为：S_正三$=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
2. 正六边形可分割为6个全等的边长为b的正三角形，因此正六边形的面积为：S_正六$=6×\frac{\sqrt{3}}{4}b^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$。
3. 由题意两图形面积相等，可得：
$ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2 $约去$\sqrt{3}$后整理得：$a^2=6b^2$，即$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{6}}{1}$。因此正三角形与正六边形的边长之比为$\sqrt{6}:1$。