1. (2025·如东期中)顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是 (
A.矩形
B.对角线相等的四边形
C.菱形
D.对角线互相垂直的四边形
B
)A.矩形
B.对角线相等的四边形
C.菱形
D.对角线互相垂直的四边形
答案：1.B
2. 如图,在四边形ABCD中,$AC⊥ BD$,垂足为O,$AB// CD$,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是
$AB=CD$(答案不唯一)
.(写出一个条件即可)答案：2.$AB=CD$(答案不唯一)
3. (2024·广元)如图,已知矩形ABCD.
(1)尺规作图:作对角线AC的垂直平分线,交CD于点E,交AB于点F;
(不写作法,保留作图痕迹)
(2)连接AE,CF,求证:四边形AFCE是菱形.
(1)尺规作图:作对角线AC的垂直平分线,交CD于点E,交AB于点F;
(不写作法,保留作图痕迹)
(2)连接AE,CF,求证:四边形AFCE是菱形.
答案：
3.(1)解:如答图.
(2)证明:如答图,设EF与AC的交点为O.
由(1)可知,直线EF是线段AC的垂直平分线,
$\therefore EA=EC,FA=FC,$
$\therefore OA=OC,∠COE=∠AOF=90^{\circ }.$
∵四边形ABCD是矩形,$CD// AB,$
$\therefore ∠ECO=∠FAO.$
在$△ COE$和$△ AOF$中,$\{\begin{array}{l} ∠ECO=∠FAO,\\ OC=OA,\\ ∠EOC=∠FOA,\end{array} $
$\therefore △ COE≌ △ AOF(ASA),\therefore EC=FA,$
$\therefore EA=EC=FA=FC$,
∴四边形AFCE是菱形.
3.(1)解:如答图.
(2)证明:如答图,设EF与AC的交点为O.
由(1)可知,直线EF是线段AC的垂直平分线,
$\therefore EA=EC,FA=FC,$
$\therefore OA=OC,∠COE=∠AOF=90^{\circ }.$
∵四边形ABCD是矩形,$CD// AB,$
$\therefore ∠ECO=∠FAO.$
在$△ COE$和$△ AOF$中,$\{\begin{array}{l} ∠ECO=∠FAO,\\ OC=OA,\\ ∠EOC=∠FOA,\end{array} $
$\therefore △ COE≌ △ AOF(ASA),\therefore EC=FA,$
$\therefore EA=EC=FA=FC$,
∴四边形AFCE是菱形.
4. (2024·呼伦贝尔)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上,$AB=AF$,连接BF,点O为BF的中点,AO的延长线交边BC于点E,连接EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,$CE=1$,$∠ BAD=120°$,求AE的长.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,$CE=1$,$∠ BAD=120°$,求AE的长.
答案：4.(1)证明:
∵点O为BF的中点,$\therefore OB=OF.$
∵在平行四边形ABCD中,$AD// BC,$
$\therefore ∠OBE=∠OFA,∠OEB=∠OAF.$
$\therefore △ OAF≌ △ OEB(AAS).\therefore OA=OE.$
∴四边形ABEF是平行四边形.
又$\because AB=AF$,
∴平行四边形ABEF是菱形.
(2)解:设菱形ABEF的边长为x,根据题意,得$2(x+x+$
$1)=22$,解得$x=5.$
∵菱形ABEF中,$AF// BE,\therefore ∠ABE+∠BAD=180^{\circ }.$
$\because ∠BAD=120^{\circ },\therefore ∠ABE=60^{\circ }.$
又$\because AB=BE,\therefore △ ABE$是等边三角形.$\therefore AE=AB=5.$
∵点O为BF的中点,$\therefore OB=OF.$
∵在平行四边形ABCD中,$AD// BC,$
$\therefore ∠OBE=∠OFA,∠OEB=∠OAF.$
$\therefore △ OAF≌ △ OEB(AAS).\therefore OA=OE.$
∴四边形ABEF是平行四边形.
又$\because AB=AF$,
∴平行四边形ABEF是菱形.
(2)解:设菱形ABEF的边长为x,根据题意,得$2(x+x+$
$1)=22$,解得$x=5.$
∵菱形ABEF中,$AF// BE,\therefore ∠ABE+∠BAD=180^{\circ }.$
$\because ∠BAD=120^{\circ },\therefore ∠ABE=60^{\circ }.$
又$\because AB=BE,\therefore △ ABE$是等边三角形.$\therefore AE=AB=5.$