1.（2026·无锡锡山区期末）已知数轴上A，B两点对应的数分别是－2和4，数轴上一动点P对应的数为x.
（1）若P为线段AB的三等分点，求点P对应的数.
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A，B的距离之和为10？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
（3）若点A，B，P（开始时点P在原点）同时向左运动，且它们的速度分别是1个单位长度/分钟、2个单位长度/分钟、1个单位长度/分钟，则几分钟后P为AB的中点？
（1）若P为线段AB的三等分点，求点P对应的数.
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A，B的距离之和为10？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
（3）若点A，B，P（开始时点P在原点）同时向左运动，且它们的速度分别是1个单位长度/分钟、2个单位长度/分钟、1个单位长度/分钟，则几分钟后P为AB的中点？
答案：(1)因为AB=4-(-2)=6,且P为线段AB的三等分点，所以AP=2或AP=4,所以点P对应的数是0或2.
(2)数轴上存在点P,使点P到点A,B的距离之和为10，当点P在线段AB上时,则点P到点A,点B距离和为6,不合题意,舍去.当点P在点A的左边时,则(4-x)+(-2-x)=10,解得x=-4.当点P在点B的右边时,则(x-4)+(x+2)=10,解得x=6.综上,x=-4或x=6.
(3)因为P为AB的中点,设运动时间为t分钟.点A初始为-2,速度1单位长度/分钟,对应数为-2-t,点B初始为4,速度2单位长度/分钟,对应数为4-2t,点P初始为0,速度1单位长度/分钟,对应数为0-t=-t.当A在B左边时,由题意,得-t-(-2-t)=4-2t-(-t),解得t=2;当B在A左边时,不符合题意.故t=2.
(2)数轴上存在点P,使点P到点A,B的距离之和为10，当点P在线段AB上时,则点P到点A,点B距离和为6,不合题意,舍去.当点P在点A的左边时,则(4-x)+(-2-x)=10,解得x=-4.当点P在点B的右边时,则(x-4)+(x+2)=10,解得x=6.综上,x=-4或x=6.
(3)因为P为AB的中点,设运动时间为t分钟.点A初始为-2,速度1单位长度/分钟,对应数为-2-t,点B初始为4,速度2单位长度/分钟,对应数为4-2t,点P初始为0,速度1单位长度/分钟,对应数为0-t=-t.当A在B左边时,由题意,得-t-(-2-t)=4-2t-(-t),解得t=2;当B在A左边时,不符合题意.故t=2.
2. (2026·扬州邗江区期中)如图，数轴(原点已省略)上有两根木棒AB和CD，点A表示的数是-9，点D表示的数是18，且AB=4，CD=5.
(1)写出B，C两点表示的数：B：
(2)若木棒AB和木棒CD同时向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒2个单位长度，运动时间为t秒.
①t为何值时，线段AB和线段CD重叠部分的长度为3个单位长度？
②木棒AB从刚追到并碰到木棒CD，到完全超过木棒CD，共用时多少秒？
备用图
(1)写出B，C两点表示的数：B：
-5
，C：13
.(2)若木棒AB和木棒CD同时向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒2个单位长度，运动时间为t秒.
①t为何值时，线段AB和线段CD重叠部分的长度为3个单位长度？
②木棒AB从刚追到并碰到木棒CD，到完全超过木棒CD，共用时多少秒？
备用图
答案：(1)-5 13 [解析]由题意可得点B表示的数为-9+4=-5,点C表示的数为18-5=13.
(2)①木棒AB和木棒CD同时向右运动,速度分别为每秒3个单位长度和每秒2个单位长度,运动时间为t秒.则点A位置为(-9+3t),点B位置为(-5+3t),点C位置为(13+2t),点D位置为(18+2t),分情况讨论:当点A运动到点C左侧,点B运动到点C右侧时,此时AC=1,(13+2t)-(-9+3t)=1,解得t=21;当点A运动到点D左侧,点B运动到点D右侧时,此时DB=1,(-5+3t)-(18+2t)=1,解得t=24.因此,t为21秒或24秒时,线段AB和线段CD重叠部分的长度为3个单位长度.
②设木棒AB刚追到并碰到木棒CD,运动时间为t₁秒,此时点B与点C相遇,则-5+3t₁=13+2t₁,解得t₁=18.设木棒AB到完全超过木棒CD,运动时间为t₂秒,此时点A与点D相遇,则-9+3t₂=18+2t₂,解得t₂=27.t₂-t₁=27-18=9(秒),因此,木棒AB从刚追到并碰到木棒CD,到完全超过木棒CD,共用时9秒.
(2)①木棒AB和木棒CD同时向右运动,速度分别为每秒3个单位长度和每秒2个单位长度,运动时间为t秒.则点A位置为(-9+3t),点B位置为(-5+3t),点C位置为(13+2t),点D位置为(18+2t),分情况讨论:当点A运动到点C左侧,点B运动到点C右侧时,此时AC=1,(13+2t)-(-9+3t)=1,解得t=21;当点A运动到点D左侧,点B运动到点D右侧时,此时DB=1,(-5+3t)-(18+2t)=1,解得t=24.因此,t为21秒或24秒时,线段AB和线段CD重叠部分的长度为3个单位长度.
②设木棒AB刚追到并碰到木棒CD,运动时间为t₁秒,此时点B与点C相遇,则-5+3t₁=13+2t₁,解得t₁=18.设木棒AB到完全超过木棒CD,运动时间为t₂秒,此时点A与点D相遇,则-9+3t₂=18+2t₂,解得t₂=27.t₂-t₁=27-18=9(秒),因此,木棒AB从刚追到并碰到木棒CD,到完全超过木棒CD,共用时9秒.
3. (2026·南通通州区期末)将含字母$x(x≠0)$的代数式的值记为$S$,根据$S$与$x$的关系,可将含字母$x$的代数式分为以下三类:
$x$的$A$类式:对于$x$的每一个取值,都有$|S|=|x|$;
$x$的$B$类式:对于$x$的每一个取值,都有$|S|≠|x|$;
$x$的$C$类式:既存在$x$的值,使得$|S|=|x|$,也存在$x$的值,使得$|S|≠|x|$.
(1)下列代数式:①$2x$,②$-x$,③$x-1$,④$x^2$,其中$x$的$A$类式有:
(2)若代数式$mx^2 -2x$与$4x^2 +nx$的和是$x$的$A$类式,求$m$和$n$的值.
$x$的$A$类式:对于$x$的每一个取值,都有$|S|=|x|$;
$x$的$B$类式:对于$x$的每一个取值,都有$|S|≠|x|$;
$x$的$C$类式:既存在$x$的值,使得$|S|=|x|$,也存在$x$的值,使得$|S|≠|x|$.
(1)下列代数式:①$2x$,②$-x$,③$x-1$,④$x^2$,其中$x$的$A$类式有:
②
, $x$的$B$类式有:①
, $x$的$C$类式有:③④
;(在横线上填写对应序号)(2)若代数式$mx^2 -2x$与$4x^2 +nx$的和是$x$的$A$类式,求$m$和$n$的值.
答案：(1)② ① ③④ [解析]①因为|S|=|2x|=2|x|,所以当x≠0时,对于x的每一个取值,都有|S|≠|x|,所以①是x的B类式;②因为|S|=|-x|=|x|,所以对于x的每一个取值,都有|S|=|x|,所以②是x的A类式;③因为|S|=|x-1|,当|x-1|=|x|时,解得x=1/2,所以当x≠1/2时,|x-1|≠|x|,所以既存在x的值,使得|S|=|x|,也存在x的值,使得|S|≠|x|,所以③是x的C类式;④因为|S|=|x²|,当|x²|=|x|时,解得x=0(舍去)或x=±1,所以当x≠±1,x≠0时,|x²|≠|x|,所以既存在x的值,使得|S|=|x|,也存在x的值,使得|S|≠|x|,所以④是x的C类式.
(2)$(mx^2 -2x)+(4x^2 +nx)=(m+4)x^2+(-2+n)x$,由题意可得$m+4=0,|-2+n|=1$.所以$m=-4,n=1$或3.
(2)$(mx^2 -2x)+(4x^2 +nx)=(m+4)x^2+(-2+n)x$,由题意可得$m+4=0,|-2+n|=1$.所以$m=-4,n=1$或3.