【分析】
(1) 观察给出的前4个等式，可发现第k个等式的结构为：左边是$\frac{1}{k}$减去$\frac{1}{k+2}$，右边是$\frac{2}{k×(k+2)}$，求第7个等式时直接将k替换为7即可；
(2) 将上述规律中的序号k替换为n，即可得到第n个等式，可通过通分左边验证等式成立；
(3) 根据前面的规律可推导出$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，将原式每一项按该式拆分后，提取$\frac{1}{2}$，中间的加减项会相互抵消，仅剩首尾几项，计算剩余项即可得到结果。
【解析】
(1) 按照规律，第7个等式中第一个分数分母为7，第二个分数分母为$7+2=9$，因此等式为：$\frac{1}{7}-\frac{1}{9}=\frac{2}{7×9}$；
(2) 第n个等式将序号替换为n，第二个分数分母为$n+2$，因此等式为：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{2}{n(n+2)}$（n为正整数）；
(3) 计算$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{2×4}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{8×10}$：
根据规律变形每一项：$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}×\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$
原式$=\frac{1}{2}(\frac{2}{1×3}+\frac{2}{2×4}+\frac{2}{3×5}+…+\frac{2}{8×10})$
$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{8}-\frac{1}{10})$
抵消中间项后剩余：$1、\frac{1}{2}、-\frac{1}{9}、-\frac{1}{10}$
$=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10})$
$=\frac{1}{2}×\frac{58}{45}$
$=\frac{29}{45}$
【答案】
(1) $\frac{1}{7}-\frac{1}{9}=\frac{2}{7×9}$
(2) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{2}{n(n+2)}$
(3) $\frac{29}{45}$
【知识点】
数式规律探究，裂项相消法，有理数混合运算
【点评】
本题是规律探究与简便运算结合的典型题目，需要先通过观察已知等式归纳出通用的拆项公式，再利用公式拆分算式中各项，通过抵消中间项简化运算，重点考查观察归纳能力和简便运算的技巧。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题思路：首先观察给出的等式，总结裂项的基本规律解决第(1)问；再利用裂项后中间项相互抵消的特点，计算前n项和解决第(2)问；第(3)问中分母是差为2的两个偶数乘积，对比基础裂项形式，先提取系数调整为符合裂项相消的格式，再用同样的抵消方法计算即可。
步骤：1. 对比已知等式，直接归纳以$n(n+1)$为分母的裂项结果；2. 将连加算式的每一项按裂项公式拆分，消去中间互为相反数的项，仅保留首尾两项计算结果；3. 第(3)问先验证$\frac{1}{2k×(2k+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k+2})$，再拆分每一项、提公因式、消项计算。
【解析】
(1) 观察已知等式：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，可以发现规律：分母为相邻两个正整数的乘积、分子为1的分数，可以拆成较小数的倒数减去较大数的倒数，因此$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2) ① 按裂项公式拆分每一项：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2022×2023}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}$
中间的$-\frac{1}{2}$与$+\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{3}$与$+\frac{1}{3}$……$-\frac{1}{2022}$与$+\frac{1}{2022}$全部抵消，仅剩首尾两项：
$=1-\frac{1}{2023}=\frac{2022}{2023}$
② 同理，推广到n项的情况：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
(3) 观察算式中每一项的分母是差为2的偶数乘积，先调整裂项形式：
因为$\frac{1}{2×4}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})$，$\frac{1}{4×6}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})$，以此类推，$\frac{1}{2k×(2k+2)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k+2})$，因此：
$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2022×2024}$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2024})$
中间项抵消后仅剩首尾两项：
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2024})$
通分计算括号内的部分：$\frac{1}{2}-\frac{1}{2024}=\frac{1012}{2024}-\frac{1}{2024}=\frac{1011}{2024}$
再计算乘法：$\frac{1}{2}×\frac{1011}{2024}=\frac{1011}{4048}$
【答案】
(1) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2) ① $\frac{2022}{2023}$；② $\frac{n}{n+1}$
(3) $\frac{1011}{4048}$
【知识点】
裂项相消法，规律探究，分数运算
【点评】
本题核心是通过观察已知等式总结裂项规律，重点掌握裂项后中间项相互抵消的巧算技巧，对于分母差不为1的裂项，要注意调整提取对应的系数，避免漏乘系数导致计算错误。
【难度系数】
0.7