三、解答题(共50分)
8.(12分)(2025·滨城区月考)已知a,b,c是△ABC的三边长，a=4,b=6，且△ABC的周长是小于18的偶数.
(1)求c的值；
(2)判断△ABC的形状.
8.(12分)(2025·滨城区月考)已知a,b,c是△ABC的三边长，a=4,b=6，且△ABC的周长是小于18的偶数.
(1)求c的值；
(2)判断△ABC的形状.
答案：8.解:(1)
∵a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,
∴2＜c＜10.
∵△ABC的周长是小于18的偶数,
∴2＜c＜8,且c为偶数,
∴c=4或c=6.
(2)当c=4或c=6时,△ABC都是等腰三角形.
∵a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,
∴2＜c＜10.
∵△ABC的周长是小于18的偶数,
∴2＜c＜8,且c为偶数,
∴c=4或c=6.
(2)当c=4或c=6时,△ABC都是等腰三角形.
9.(12分)如图,在△ABC中,AD是角平分线,E为边AB上一点,连接DE,∠EAD=∠EDA,过点E作EF⊥BC,垂足为F.
(1)求证:DE//AC;
(2)若∠DEF=40°,∠B=35°,求∠BAC的度数.
(1)求证:DE//AC;
(2)若∠DEF=40°,∠B=35°,求∠BAC的度数.
答案：9.(1)证明:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠EAD=∠EDA,
∴∠EDA=∠CAD,
∴DE//AC.
(2)解:
∵EF⊥BD,
∴∠EFD=90°,
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°,
∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=95°.
由(1)知DE//AC,
∴∠BAC=∠BED=95°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠EAD=∠EDA,
∴∠EDA=∠CAD,
∴DE//AC.
(2)解:
∵EF⊥BD,
∴∠EFD=90°,
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°,
∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=95°.
由(1)知DE//AC,
∴∠BAC=∠BED=95°.
10.(12分)如图,有一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上,三角尺XYZ的两条直角边XY,XZ分别经过点B,C.在△ABC中,∠A=30°.
(1)∠ABC+∠ACB=
(2)求∠ABX+∠ACX的值.
(1)∠ABC+∠ACB=
150
°;(2)求∠ABX+∠ACX的值.
答案：10.(1)150
(2)解:
∵∠X=90°,
∴∠XBC+∠XCB=90°,
∴∠ABX+∠ACX=150°-90°=60°.
(2)解:
∵∠X=90°,
∴∠XBC+∠XCB=90°,
∴∠ABX+∠ACX=150°-90°=60°.
11.(14分)(2025·惠山区期末)在一个三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称之为“灵动三角形”.如,三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“灵动三角形”.如图,∠MON=60°,在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C(规定0°＜∠OAC＜90°).
(1)∠ABO的度数为
(2)若∠BAC=60°,求证:△AOC为“灵动三角形”;
(3)当△ABC为“灵动三角形”时,求∠OAC的度数.
(1)∠ABO的度数为
30
°,△AOB是
(填“是”或“不是”)“灵动三角形”;(2)若∠BAC=60°,求证:△AOC为“灵动三角形”;
(3)当△ABC为“灵动三角形”时,求∠OAC的度数.
答案：11.(1)30 是
(2)证明:
∵AB⊥OM,
∴∠BAO=90°.
∵∠BAC=60°,
∴∠OAC=∠BAO-∠BAC=30°.
∵∠MON=60°,
∴∠ACO=180°-∠OAC-∠MON=90°,
∴∠ACO=3∠OAC,
∴△AOC为“灵动三角形”.
(3)解:设∠OAC=x°,则
∠BAC=(90-x)°,∠ACB=(60+x)°,∠ABC=30°.
∵△ABC为“灵动三角形”,
当∠ABC=3∠BAC时,
30=3(90-x),解得x=80;
当∠ABC=3∠ACB时,
30=3(60+x),解得x=-50(舍去),
∴此种情况不存在;
当∠BCA=3∠BAC时,
60+x=3(90-x),解得x=52.5;
当∠BCA=3∠ABC时,
60+x=90,解得x=30;
当∠BAC=3∠ABC时,
90-x=90,解得x=0(舍去),
∴此种情况不存在;
当∠BAC=3∠ACB时,
90-x=3(60+x),解得x=-22.5(舍去),
∴此种情况不存在.
综上所述,∠OAC的度数为80°或52.5°或30°.
(2)证明:
∵AB⊥OM,
∴∠BAO=90°.
∵∠BAC=60°,
∴∠OAC=∠BAO-∠BAC=30°.
∵∠MON=60°,
∴∠ACO=180°-∠OAC-∠MON=90°,
∴∠ACO=3∠OAC,
∴△AOC为“灵动三角形”.
(3)解:设∠OAC=x°,则
∠BAC=(90-x)°,∠ACB=(60+x)°,∠ABC=30°.
∵△ABC为“灵动三角形”,
当∠ABC=3∠BAC时,
30=3(90-x),解得x=80;
当∠ABC=3∠ACB时,
30=3(60+x),解得x=-50(舍去),
∴此种情况不存在;
当∠BCA=3∠BAC时,
60+x=3(90-x),解得x=52.5;
当∠BCA=3∠ABC时,
60+x=90,解得x=30;
当∠BAC=3∠ABC时,
90-x=90,解得x=0(舍去),
∴此种情况不存在;
当∠BAC=3∠ACB时,
90-x=3(60+x),解得x=-22.5(舍去),
∴此种情况不存在.
综上所述,∠OAC的度数为80°或52.5°或30°.