解：（1）$\quad x^2 - y^4$
$= x^2 - (y^2)^2$
$= (x + y^2)(x - y^2)$；
（2）$\quad (x + p)^2 - (x + q)^2$
$= [(x + p) + (x + q)][(x + p) - (x + q)]$
$= (2x + p + q)(p - q)$。
知识链接 运用平方差公式分解因式的特点：
①分解的是两项；
②两项的符号相反；
③每一项的绝对值都能写成某个数（或式子）的平方的形式。
练习
1. 下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？
（1）$x^2 + y^2$； （2）$x^2 - y^2$； 解：（1）不能. 理由：该多项式是平方和.
（2）能. 理由：$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$.
（3）$-x^2 + y^2$； （4）$-x^2 - y^2$. （3）能. 理由：$-x^2 + y^2 = y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$.
（4）不能. 理由：该多项式是平方和的相反数.
2. 分解因式：解：（1）$36 - m^2 = 6^2 - m^2 = (6 + m)(6 - m)$；
（2）$49n^2 - 1 = (7n)^2 - 1^2 = (7n + 1)(7n - 1)$；
（1）$36 - m^2$； （2）$49n^2 - 1$； （3）$a^2 - \dfrac{1}{25}b^2$；
（4）$81a^2 - 16b^4$； （5）$4b^2 - (b + c)^2$；$\longrightarrow$把$(b + c)$看作一个整体.
（6）$(m + n)^2 - (m - 2n)^2$. （3）$a^2 - \dfrac{1}{25}b^2 = a^2 - (\dfrac{1}{5}b)^2 = (a + \dfrac{1}{5}b)(a - \dfrac{1}{5}b)$；
（4）$81a^2 - 16b^4 = (9a)^2 - (4b)^2 = (9a + 4b^2)(9a - 4b^2)$；
（5）$4b^2 - (b + c)^2 = (2b)^2 - (b + c)^2 = (2b + b + c)[2b - (b + c)] = (3b + c)(b - c)$；
（6）$(m + n)^2 - (m - 2n)^2 = [(m + n) + (m - 2n)][(m + n) - (m - 2n)] = (2m - n) · 3n = 6mn - 3n^2$.
思考
多项式$a^2 + 2ab + b^2$与$a^2 - 2ab + b^2$有什么特点？你能将它们分解因式吗？
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把$a^2 + 2ab + b^2$和$a^2 - 2ab + b^2$这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式.
把整式乘法的完全平方公式
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
的等号两边互换，就得到
注意! 利用完全平方公式分解因式与利用完全平方公式进行整式乘法的区别在于等号两边互逆.
$\begin{cases} a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2, \\ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2. \end{cases}$
$\longrightarrow a$与$b$可以是单项式，也可以是多项式.
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识链接 运用完全平方公式分解因式的一般步骤：
第一步：观察多项式的特点，确定参数$a$，$b$.