1. 如图，AB与CD交于点O，$∠ AOE=90°$.
(1)若AB在东西方向上，点C在点O的南偏西$20°$方向上，则点D在点O的
(2)若$∠ EOD=28°$,求$∠ AOC$的度数；
(3)若$∠ AOC:∠ BOC=1:2$,求$∠ EOD$的度数.
(1)若AB在东西方向上，点C在点O的南偏西$20°$方向上，则点D在点O的
北偏东 20°
方向上；(2)若$∠ EOD=28°$,求$∠ AOC$的度数；
(3)若$∠ AOC:∠ BOC=1:2$,求$∠ EOD$的度数.
答案：1.(1)北偏东 20°
(2)解:因为∠AOC+∠AOE+∠EOD=180°,∠EOD=28°,∠AOE=90°,
所以∠AOC=180°-28°-90°=62°.
(3)解:因为∠AOC:∠BOC=1:2,
所以∠BOC=2∠AOC.
因为∠AOC+∠BOC=180°,
所以∠AOC+2∠AOC=180°,所以∠AOC=60°.
因为∠AOC+∠AOE+∠EOD=180°,∠AOE=90°,
所以∠EOD=30°.
(2)解:因为∠AOC+∠AOE+∠EOD=180°,∠EOD=28°,∠AOE=90°,
所以∠AOC=180°-28°-90°=62°.
(3)解:因为∠AOC:∠BOC=1:2,
所以∠BOC=2∠AOC.
因为∠AOC+∠BOC=180°,
所以∠AOC+2∠AOC=180°,所以∠AOC=60°.
因为∠AOC+∠AOE+∠EOD=180°,∠AOE=90°,
所以∠EOD=30°.
解析：
【分析】
(1) 先明确方向标规则：上北下南、左西右东，AB为东西方向直线，CD与AB交于点O，∠AOC和∠BOD是对顶角，大小相等。已知点C在点O南偏西20°，可得∠AOC=20°，因此∠BOD=20°，即可判断点D的方向。
(2) CD为直线，根据平角定义可知∠COD=180°，该角由∠AOC、∠AOE、∠EOD三部分组成，已知∠AOE=90°、∠EOD=28°，用平角度数减去两个已知角的度数即可求出∠AOC。
(3) AB为直线，∠AOC和∠BOC是邻补角，和为180°，结合两者的比例关系先求出∠AOC的度数，再利用平角∠COD=180°，减去∠AOC和∠AOE的度数，即可求出∠EOD的度数。
【解析】
(1) 因为CD与AB交于点O，∠AOC与∠BOD为对顶角，点C在点O南偏西20°，所以∠AOC=∠BOD=20°，即点D在点O的北偏东20°方向。
(2) 因为∠AOC+∠AOE+∠EOD=180°，∠EOD=28°，∠AOE=90°，
所以∠AOC=180°-28°-90°=62°。
(3) 因为∠AOC:∠BOC=1:2，
所以∠BOC=2∠AOC。
因为∠AOC+∠BOC=180°，
所以∠AOC+2∠AOC=180°，解得∠AOC=60°。
因为∠AOC+∠AOE+∠EOD=180°，∠AOE=90°，
所以∠EOD=180°-90°-60°=30°。
【答案】
(1) 北偏东20°
(2) 62°
(3) 30°
【知识点】
方向角识别，邻补角性质，角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，综合考查了方向角判断、邻补角性质、比例运算的应用，解题核心是准确梳理角与角之间的数量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 先明确方向标规则：上北下南、左西右东，AB为东西方向直线，CD与AB交于点O，∠AOC和∠BOD是对顶角，大小相等。已知点C在点O南偏西20°，可得∠AOC=20°，因此∠BOD=20°，即可判断点D的方向。
(2) CD为直线，根据平角定义可知∠COD=180°，该角由∠AOC、∠AOE、∠EOD三部分组成，已知∠AOE=90°、∠EOD=28°，用平角度数减去两个已知角的度数即可求出∠AOC。
(3) AB为直线，∠AOC和∠BOC是邻补角，和为180°，结合两者的比例关系先求出∠AOC的度数，再利用平角∠COD=180°，减去∠AOC和∠AOE的度数，即可求出∠EOD的度数。
【解析】
(1) 因为CD与AB交于点O，∠AOC与∠BOD为对顶角，点C在点O南偏西20°，所以∠AOC=∠BOD=20°，即点D在点O的北偏东20°方向。
(2) 因为∠AOC+∠AOE+∠EOD=180°，∠EOD=28°，∠AOE=90°，
所以∠AOC=180°-28°-90°=62°。
(3) 因为∠AOC:∠BOC=1:2，
所以∠BOC=2∠AOC。
因为∠AOC+∠BOC=180°，
所以∠AOC+2∠AOC=180°，解得∠AOC=60°。
因为∠AOC+∠AOE+∠EOD=180°，∠AOE=90°，
所以∠EOD=180°-90°-60°=30°。
【答案】
(1) 北偏东20°
(2) 62°
(3) 30°
【知识点】
方向角识别，邻补角性质，角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，综合考查了方向角判断、邻补角性质、比例运算的应用，解题核心是准确梳理角与角之间的数量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图①，已知$∠ AOB$和$∠ COD$($∠ COD＜∠ AOB$)，$∠ COD$绕着点$O$旋转，$OE$，$OF$分别是$∠ AOC$，$∠ BOD$的平分线.
(1)如图②，当$∠ COD$在$∠ AOB$的内部时，
①当$∠ AOB=90°$，$∠ COD=45°$时，$∠ EOF=$
②当$∠ AOB=80°$，$∠ EOF=20°$时，$∠ COD=$
(2)当$∠ COD$在如图③的位置时，猜想$∠ EOF$与$∠ AOB$，$∠ COD$的数量关系，并说明理由.
(3)当$∠ COD$在如图④的位置时，$∠ EOF$与$∠ AOB$，$∠ COD$的数量关系是
(1)如图②，当$∠ COD$在$∠ AOB$的内部时，
①当$∠ AOB=90°$，$∠ COD=45°$时，$∠ EOF=$
22.5°
；②当$∠ AOB=80°$，$∠ EOF=20°$时，$∠ COD=$
40°
.(2)当$∠ COD$在如图③的位置时，猜想$∠ EOF$与$∠ AOB$，$∠ COD$的数量关系，并说明理由.
(3)当$∠ COD$在如图④的位置时，$∠ EOF$与$∠ AOB$，$∠ COD$的数量关系是
∠EOF=180°-1/2(∠AOB-∠COD)
.答案：2.(1)①22.5° 点拨:设∠AOD=x°,则∠BOC=(45-x)°,∠AOC=(45+x)°,∠BOD=(90-x)°.
因为OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
所以∠AOE=∠COE=1/2(45+x)°,∠BOF=∠DOF=1/2(90-x)°,
所以∠AOF=∠AOD+∠DOF=x°+1/2(90-x)°,
所以∠EOF=∠AOF-∠AOE=x°+1/2(90-x)°-1/2(45+x)°=22.5°.
②40° 点拨:设∠AOD=x°,∠BOC=y°,则∠AOC=(80-y)°,∠BOD=(80-x)°.
因为OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
所以∠AOE=∠COE=1/2(80-y)°,∠BOF=∠DOF=1/2(80-x)°.
因为∠BOF+∠EOF+∠AOE=∠AOB,
所以1/2(80-x)°+20°+1/2(80-y)°=80°,
所以x°+y°=40°,
所以∠COD=80°-(x+y)°=40°.
(2)解:∠EOF=1/2(∠AOB-∠COD),理由如下:
设∠BOD=α,则∠AOC=α+∠AOB+∠COD.
因为OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
所以∠AOE = ∠COE = 1/2(α + ∠AOB + ∠COD),
∠BOF=∠DOF=1/2α,
所以∠EOF=∠AOB-∠AOE+∠BOF=∠AOB-1/2(α+∠AOB+∠COD)+1/2α=∠AOB-1/2α-1/2∠AOB-1/2∠COD+1/2α=1/2(∠AOB-∠COD).
(3)∠EOF=180°-1/2(∠AOB-∠COD)
点拨:设∠AOC=β,则∠BOD=360°-∠AOB-∠COD-β.
因为OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
所以∠AOE=∠COE=1/2β,∠BOF=∠DOF=1/2(360°-∠AOB-∠COD-β),
所以∠EOF = ∠COE + ∠COD + ∠DOF = 1/2 β + ∠COD+1/2(360°-∠AOB-∠COD-β)=1/2 β + ∠COD+180°-1/2∠AOB-1/2∠COD-1/2β=180°-1/2(∠AOB-∠COD).
因为OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
所以∠AOE=∠COE=1/2(45+x)°,∠BOF=∠DOF=1/2(90-x)°,
所以∠AOF=∠AOD+∠DOF=x°+1/2(90-x)°,
所以∠EOF=∠AOF-∠AOE=x°+1/2(90-x)°-1/2(45+x)°=22.5°.
②40° 点拨:设∠AOD=x°,∠BOC=y°,则∠AOC=(80-y)°,∠BOD=(80-x)°.
因为OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
所以∠AOE=∠COE=1/2(80-y)°,∠BOF=∠DOF=1/2(80-x)°.
因为∠BOF+∠EOF+∠AOE=∠AOB,
所以1/2(80-x)°+20°+1/2(80-y)°=80°,
所以x°+y°=40°,
所以∠COD=80°-(x+y)°=40°.
(2)解:∠EOF=1/2(∠AOB-∠COD),理由如下:
设∠BOD=α,则∠AOC=α+∠AOB+∠COD.
因为OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
所以∠AOE = ∠COE = 1/2(α + ∠AOB + ∠COD),
∠BOF=∠DOF=1/2α,
所以∠EOF=∠AOB-∠AOE+∠BOF=∠AOB-1/2(α+∠AOB+∠COD)+1/2α=∠AOB-1/2α-1/2∠AOB-1/2∠COD+1/2α=1/2(∠AOB-∠COD).
(3)∠EOF=180°-1/2(∠AOB-∠COD)
点拨:设∠AOC=β,则∠BOD=360°-∠AOB-∠COD-β.
因为OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
所以∠AOE=∠COE=1/2β,∠BOF=∠DOF=1/2(360°-∠AOB-∠COD-β),
所以∠EOF = ∠COE + ∠COD + ∠DOF = 1/2 β + ∠COD+1/2(360°-∠AOB-∠COD-β)=1/2 β + ∠COD+180°-1/2∠AOB-1/2∠COD-1/2β=180°-1/2(∠AOB-∠COD).
解析：
【分析】
本题考查角平分线定义与角的和差计算的综合应用，解题核心是通过角平分线表示出各分角，再将∠EOF转化为已知角的和差形式，消去未知中间角即可得到结果。(1)中给出具体角度，可直接设未知中间角，利用角平分线表示出相关分角，代入角度和差关系计算；(2)(3)为动态角下的数量关系推导，同样设中间角表示各分角，通过代数运算消去中间变量，即可得到∠EOF与∠AOB、∠COD的关系。
【解析】
(1)①设$∠ AOD=x°$，则$∠ BOC=(45-x)°$，$∠ AOC=∠ COD+∠ AOD=(45+x)°$，$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=(90-x)°$。
因为$OE$、$OF$分别是$∠ AOC$、$∠ BOD$的平分线，
所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(45+x)°$，$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(90-x)°$，
则$∠ AOF=∠ AOD+∠ DOF=x°+\frac{1}{2}(90-x)°$，
所以$∠ EOF=∠ AOF-∠ AOE=x°+\frac{1}{2}(90-x)°-\frac{1}{2}(45+x)°=22.5°$。
②设$∠ AOD=x°$，$∠ BOC=y°$，则$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=(80-y)°$，$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=(80-x)°$。
因为$OE$、$OF$分别是$∠ AOC$、$∠ BOD$的平分线，
所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(80-y)°$，$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(80-x)°$。
由$∠ BOF+∠ EOF+∠ AOE=∠ AOB$，代入得：
$\frac{1}{2}(80-x)°+20°+\frac{1}{2}(80-y)°=80°$，
化简得$x+y=40$，
所以$∠ COD=∠ AOB-(∠ AOD+∠ BOC)=80°-(x+y)°=40°$。
(2)猜想$∠ EOF=\frac{1}{2}(∠ AOB-∠ COD)$，理由如下：
设$∠ BOD=α$，则$∠ AOC=α+∠ AOB+∠ COD$。
因为$OE$、$OF$分别是$∠ AOC$、$∠ BOD$的平分线，
所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(α+∠ AOB+∠ COD)$，$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}α$，
则$∠ EOF=∠ AOB-∠ AOE+∠ BOF$
$=∠ AOB - \frac{1}{2}(α+∠ AOB+∠ COD) + \frac{1}{2}α$
$=∠ AOB - \frac{1}{2}α -\frac{1}{2}∠ AOB -\frac{1}{2}∠ COD +\frac{1}{2}α$
$=\frac{1}{2}∠ AOB -\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}(∠ AOB-∠ COD)$。
(3)设$∠ AOC=β$，则$∠ BOD=360°-∠ AOB-∠ COD-β$。
因为$OE$、$OF$分别是$∠ AOC$、$∠ BOD$的平分线，
所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}β$，$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(360°-∠ AOB-∠ COD-β)$，
则$∠ EOF=∠ COE + ∠ COD + ∠ DOF$
$=\frac{1}{2}β + ∠ COD + \frac{1}{2}(360°-∠ AOB-∠ COD-β)$
$=\frac{1}{2}β + ∠ COD + 180° -\frac{1}{2}∠ AOB -\frac{1}{2}∠ COD -\frac{1}{2}β$
$=180° + \frac{1}{2}∠ COD -\frac{1}{2}∠ AOB$
$=180°-\frac{1}{2}(∠ AOB-∠ COD)$。
【答案】
(1)①$\boxed{22.5°}$；②$\boxed{40°}$
(2)$\boxed{∠EOF=\frac{1}{2}(∠AOB-∠COD)}$
(3)$\boxed{∠EOF=180°-\frac{1}{2}(∠AOB-∠COD)}$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；动态角问题
【点评】
本题是动态角类问题的典型题型，通过设中间未知角，结合角平分线定义表示各分角，再利用代数消元推导角度关系，既考查了角度运算的基本功，也对逻辑推导、分类拆分角度的能力有一定要求，掌握该方法可解决多数角旋转类的计算问题。
【难度系数】
0.6
本题考查角平分线定义与角的和差计算的综合应用，解题核心是通过角平分线表示出各分角，再将∠EOF转化为已知角的和差形式，消去未知中间角即可得到结果。(1)中给出具体角度，可直接设未知中间角，利用角平分线表示出相关分角，代入角度和差关系计算；(2)(3)为动态角下的数量关系推导，同样设中间角表示各分角，通过代数运算消去中间变量，即可得到∠EOF与∠AOB、∠COD的关系。
【解析】
(1)①设$∠ AOD=x°$，则$∠ BOC=(45-x)°$，$∠ AOC=∠ COD+∠ AOD=(45+x)°$，$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=(90-x)°$。
因为$OE$、$OF$分别是$∠ AOC$、$∠ BOD$的平分线，
所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(45+x)°$，$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(90-x)°$，
则$∠ AOF=∠ AOD+∠ DOF=x°+\frac{1}{2}(90-x)°$，
所以$∠ EOF=∠ AOF-∠ AOE=x°+\frac{1}{2}(90-x)°-\frac{1}{2}(45+x)°=22.5°$。
②设$∠ AOD=x°$，$∠ BOC=y°$，则$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=(80-y)°$，$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=(80-x)°$。
因为$OE$、$OF$分别是$∠ AOC$、$∠ BOD$的平分线，
所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(80-y)°$，$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(80-x)°$。
由$∠ BOF+∠ EOF+∠ AOE=∠ AOB$，代入得：
$\frac{1}{2}(80-x)°+20°+\frac{1}{2}(80-y)°=80°$，
化简得$x+y=40$，
所以$∠ COD=∠ AOB-(∠ AOD+∠ BOC)=80°-(x+y)°=40°$。
(2)猜想$∠ EOF=\frac{1}{2}(∠ AOB-∠ COD)$，理由如下：
设$∠ BOD=α$，则$∠ AOC=α+∠ AOB+∠ COD$。
因为$OE$、$OF$分别是$∠ AOC$、$∠ BOD$的平分线，
所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(α+∠ AOB+∠ COD)$，$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}α$，
则$∠ EOF=∠ AOB-∠ AOE+∠ BOF$
$=∠ AOB - \frac{1}{2}(α+∠ AOB+∠ COD) + \frac{1}{2}α$
$=∠ AOB - \frac{1}{2}α -\frac{1}{2}∠ AOB -\frac{1}{2}∠ COD +\frac{1}{2}α$
$=\frac{1}{2}∠ AOB -\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}(∠ AOB-∠ COD)$。
(3)设$∠ AOC=β$，则$∠ BOD=360°-∠ AOB-∠ COD-β$。
因为$OE$、$OF$分别是$∠ AOC$、$∠ BOD$的平分线，
所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}β$，$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(360°-∠ AOB-∠ COD-β)$，
则$∠ EOF=∠ COE + ∠ COD + ∠ DOF$
$=\frac{1}{2}β + ∠ COD + \frac{1}{2}(360°-∠ AOB-∠ COD-β)$
$=\frac{1}{2}β + ∠ COD + 180° -\frac{1}{2}∠ AOB -\frac{1}{2}∠ COD -\frac{1}{2}β$
$=180° + \frac{1}{2}∠ COD -\frac{1}{2}∠ AOB$
$=180°-\frac{1}{2}(∠ AOB-∠ COD)$。
【答案】
(1)①$\boxed{22.5°}$；②$\boxed{40°}$
(2)$\boxed{∠EOF=\frac{1}{2}(∠AOB-∠COD)}$
(3)$\boxed{∠EOF=180°-\frac{1}{2}(∠AOB-∠COD)}$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；动态角问题
【点评】
本题是动态角类问题的典型题型，通过设中间未知角，结合角平分线定义表示各分角，再利用代数消元推导角度关系，既考查了角度运算的基本功，也对逻辑推导、分类拆分角度的能力有一定要求，掌握该方法可解决多数角旋转类的计算问题。
【难度系数】
0.6