10. 在同一平面内，任意三条直线有哪几种不同的位置关系？你能画图说明吗？下面是小明的解题过程. 你认为小明的解答正确吗？如果不正确，请你给出正确的解答.
答案：
10. 不正确，如图所示
，在同一平面内，任意三条直线有四种不同的位置关系
10. 不正确，如图所示
，在同一平面内，任意三条直线有四种不同的位置关系解析：
【分析】
要判断小明的解答是否正确，我们可以按分类讨论的思路梳理同一平面内三条直线的位置关系：首先回忆同一平面内直线只有平行、相交两种位置关系，研究三条直线的位置时，先按互相平行的直线数量分类：①三条都互相平行；②仅两条互相平行，第三条和这两条相交；③三条都不平行（都相交），再对三条都相交的情况按交点个数分类：交于同一点、两两相交不交于同一点。按这个标准分类可得到4种情况，小明只列出了2种，因此解答错误。
【解析】
小明的解答不正确，他遗漏了两种位置关系：一是两条直线平行，第三条直线与这两条平行线相交；二是三条直线相交于同一个点。
正确的结论是同一平面内任意三条直线共有4种不同的位置关系：
1. 三条直线互相平行，无交点，对应题图①；
2. 两条直线互相平行，第三条直线与这两条平行线都相交，有2个交点，对应题图④；
3. 三条直线相交于同一点，只有1个交点，对应题图③；
4. 三条直线两两相交，且不交于同一点，有3个交点，对应题图②。
【答案】
不正确，如图所示，在同一平面内，任意三条直线有四种不同的位置关系
【知识点】
平面内直线的位置关系，分类讨论思想，平行线
【点评】
本题考查多条直线的位置关系辨析，解题时需要按照统一的标准分类讨论，避免出现漏解的情况，分类时要做到不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.6
要判断小明的解答是否正确，我们可以按分类讨论的思路梳理同一平面内三条直线的位置关系：首先回忆同一平面内直线只有平行、相交两种位置关系，研究三条直线的位置时，先按互相平行的直线数量分类：①三条都互相平行；②仅两条互相平行，第三条和这两条相交；③三条都不平行（都相交），再对三条都相交的情况按交点个数分类：交于同一点、两两相交不交于同一点。按这个标准分类可得到4种情况，小明只列出了2种，因此解答错误。
【解析】
小明的解答不正确，他遗漏了两种位置关系：一是两条直线平行，第三条直线与这两条平行线相交；二是三条直线相交于同一个点。
正确的结论是同一平面内任意三条直线共有4种不同的位置关系：
1. 三条直线互相平行，无交点，对应题图①；
2. 两条直线互相平行，第三条直线与这两条平行线都相交，有2个交点，对应题图④；
3. 三条直线相交于同一点，只有1个交点，对应题图③；
4. 三条直线两两相交，且不交于同一点，有3个交点，对应题图②。
【答案】
不正确，如图所示
，在同一平面内，任意三条直线有四种不同的位置关系【知识点】
平面内直线的位置关系，分类讨论思想，平行线
【点评】
本题考查多条直线的位置关系辨析，解题时需要按照统一的标准分类讨论，避免出现漏解的情况，分类时要做到不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.6
11. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1.
（1）过点P分别画$PM// AC$，$PN// AB$，$PM$与$AB$相交于点$M$，$PN$与$AC$相交于点$N$；
（2）求四边形$PMAN$的面积.
（1）过点P分别画$PM// AC$，$PN// AB$，$PM$与$AB$相交于点$M$，$PN$与$AC$相交于点$N$；
（2）求四边形$PMAN$的面积.
答案：
11. (1) 如图所示
，点M,N即为所求 (2) 四边形PMAN的面积为$5×7-\frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×3×3=18$
11. (1) 如图所示
，点M,N即为所求 (2) 四边形PMAN的面积为$5×7-\frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×3×3=18$解析：
【分析】
（1）平行线作图可利用方格平移的特点完成：先观察已知直线AB、AC横向、纵向移动的格数规律，过点P按照相同规律平移画直线，就能保证画出的直线与已知直线平行，所得交点即为要求的M、N。
（2）四边形PMAN是不规则图形，方格中计算这类图形面积常用割补法：将四边形补成一个完整的大矩形，用大矩形的面积减去周围4个多余直角三角形的面积，即可得到目标图形的面积，该方法符合七年级学段的知识要求，计算简便。
【解析】
（1）观察直线走向：AB的走向为横向每移动1格，纵向向上移动1格；AC的走向为横向每移动2格，纵向向下移动1格。过点P按照AC的走向画直线，与AB交于点M；过点P按照AB的走向画直线，与AC交于点N，即可得到$PM// AC$，$PN// AB$。
（2）采用补形法计算面积：
第一步：计算包含四边形PMAN的最小大矩形的面积，矩形长为7、宽为5，面积为$5×7=35$。
第二步：计算矩形内、四边形外的4个直角三角形的面积：其中2个三角形直角边长为3和3，单个面积为$\frac{1}{2}×3×3=4.5$；另外2个三角形直角边长为2和4，单个面积为$\frac{1}{2}×2×4=4$。
第三步：计算四边形面积：$35 - 2×4.5 - 2×4=35-9-8=18$。
【答案】
（1）如图所示，点M,N即为所求
（2）四边形PMAN的面积为$\boxed{18}$
【知识点】
平行线的画法；割补法求面积
【点评】
本题结合方格考查平行线作图和不规则图形面积计算，作图需要掌握利用方格平移作平行线的方法，面积计算的割补法是方格类几何题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）平行线作图可利用方格平移的特点完成：先观察已知直线AB、AC横向、纵向移动的格数规律，过点P按照相同规律平移画直线，就能保证画出的直线与已知直线平行，所得交点即为要求的M、N。
（2）四边形PMAN是不规则图形，方格中计算这类图形面积常用割补法：将四边形补成一个完整的大矩形，用大矩形的面积减去周围4个多余直角三角形的面积，即可得到目标图形的面积，该方法符合七年级学段的知识要求，计算简便。
【解析】
（1）观察直线走向：AB的走向为横向每移动1格，纵向向上移动1格；AC的走向为横向每移动2格，纵向向下移动1格。过点P按照AC的走向画直线，与AB交于点M；过点P按照AB的走向画直线，与AC交于点N，即可得到$PM// AC$，$PN// AB$。
（2）采用补形法计算面积：
第一步：计算包含四边形PMAN的最小大矩形的面积，矩形长为7、宽为5，面积为$5×7=35$。
第二步：计算矩形内、四边形外的4个直角三角形的面积：其中2个三角形直角边长为3和3，单个面积为$\frac{1}{2}×3×3=4.5$；另外2个三角形直角边长为2和4，单个面积为$\frac{1}{2}×2×4=4$。
第三步：计算四边形面积：$35 - 2×4.5 - 2×4=35-9-8=18$。
【答案】
（1）如图所示
，点M,N即为所求（2）四边形PMAN的面积为$\boxed{18}$
【知识点】
平行线的画法；割补法求面积
【点评】
本题结合方格考查平行线作图和不规则图形面积计算，作图需要掌握利用方格平移作平行线的方法，面积计算的割补法是方格类几何题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
12. (1) 画一画：在图①中，以 P 为顶点画∠P（∠P 为锐角），使∠P 的两边分别与∠1 的两边平行；再在图②中，以 P 为顶点画∠P（∠P 为钝角），使∠P 的两边分别与∠1 的两边平行。
(2) 量一量：量出∠1 与∠P 的度数，它们之间的数量关系是
(3) 猜一猜：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角的数量关系是
(4) 做一做：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且这个角为 30°，求另一个角的大小。
（第 12 题）
(2) 量一量：量出∠1 与∠P 的度数，它们之间的数量关系是
$∠ 1=∠ P$或$∠ P+∠ 1=180°$
。(3) 猜一猜：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角的数量关系是
相等或互补
。(4) 做一做：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且这个角为 30°，求另一个角的大小。
（第 12 题）
答案：
12. (1) 根据题意画图，如图所示
。(答案不唯一) (2) 由测量得到结论:$∠ 1=∠ P$或$∠ P+∠ 1=180°$ (3) 如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补 (4) 应用(3)的结论得另一个角的大小为$30°$或$150°$
12. (1) 根据题意画图，如图所示
。(答案不唯一) (2) 由测量得到结论:$∠ 1=∠ P$或$∠ P+∠ 1=180°$ (3) 如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补 (4) 应用(3)的结论得另一个角的大小为$30°$或$150°$解析：
【分析】
我们按照题目设问逐步思考解题：
1. 第(1)问画图：要使∠P的两边分别和∠1的两边平行，可使用“过直线外一点作已知直线平行线”的方法，过点P分别作∠1两条边的平行线。要得到锐角∠P，就让所作两条线的张开方向与∠1的张开方向一致；要得到钝角∠P，就让所作两条线的张开方向与∠1相反即可。
2. 第(2)问测量：分别测量两个图中∠1和∠P的度数，对比两组数据总结数量关系。
3. 第(3)问猜想：结合前两问的结果，归纳得出两边分别平行的两个角的普遍数量规律。
4. 第(4)问应用：利用第(3)问得到的结论，分相等、互补两种情况计算另一个角的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1) 依据平行线的画法操作：
图①中，过P作∠1两条边的平行线，调整线的方向使形成的∠P为锐角即可，答案不唯一，参考作图见参考答案图示。
图②中，过P作∠1两条边的平行线，调整线的方向使形成的∠P为钝角即可，答案不唯一，参考作图见参考答案图示。
(2) 用量角器测量得：图①中∠P与∠1度数相等，图②中∠P与∠1的度数和为180°，因此∠1与∠P的数量关系是∠1=∠P或∠P+∠1=180°。
(3) 结合画图、测量的结果归纳规律：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或者互补。
(4) 根据上述规律，两个角的两边分别平行时存在两种情况：
① 两角相等时，另一个角的度数为30°；
② 两角互补时，另一个角的度数为180°-30°=150°。
因此另一个角的大小为30°或150°。
【答案】
(1) 根据题意画图，如图所示。(答案不唯一)
(2) $\boldsymbol{∠1=∠P}$或$\boldsymbol{∠P+∠1=180°}$
(3) $\boldsymbol{相等或互补}$
(4) $\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{150°}$
【知识点】
平行线的画法；平行线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题通过动手操作、测量猜想、归纳应用的流程探究平行线背景下的角的数量关系，侧重考查实践能力和归纳总结能力，应用结论解题时要注意分相等、互补两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
我们按照题目设问逐步思考解题：
1. 第(1)问画图：要使∠P的两边分别和∠1的两边平行，可使用“过直线外一点作已知直线平行线”的方法，过点P分别作∠1两条边的平行线。要得到锐角∠P，就让所作两条线的张开方向与∠1的张开方向一致；要得到钝角∠P，就让所作两条线的张开方向与∠1相反即可。
2. 第(2)问测量：分别测量两个图中∠1和∠P的度数，对比两组数据总结数量关系。
3. 第(3)问猜想：结合前两问的结果，归纳得出两边分别平行的两个角的普遍数量规律。
4. 第(4)问应用：利用第(3)问得到的结论，分相等、互补两种情况计算另一个角的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1) 依据平行线的画法操作：
图①中，过P作∠1两条边的平行线，调整线的方向使形成的∠P为锐角即可，答案不唯一，参考作图见参考答案图示。
图②中，过P作∠1两条边的平行线，调整线的方向使形成的∠P为钝角即可，答案不唯一，参考作图见参考答案图示。
(2) 用量角器测量得：图①中∠P与∠1度数相等，图②中∠P与∠1的度数和为180°，因此∠1与∠P的数量关系是∠1=∠P或∠P+∠1=180°。
(3) 结合画图、测量的结果归纳规律：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或者互补。
(4) 根据上述规律，两个角的两边分别平行时存在两种情况：
① 两角相等时，另一个角的度数为30°；
② 两角互补时，另一个角的度数为180°-30°=150°。
因此另一个角的大小为30°或150°。
【答案】
(1) 根据题意画图，如图所示
。(答案不唯一)(2) $\boldsymbol{∠1=∠P}$或$\boldsymbol{∠P+∠1=180°}$
(3) $\boldsymbol{相等或互补}$
(4) $\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{150°}$
【知识点】
平行线的画法；平行线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题通过动手操作、测量猜想、归纳应用的流程探究平行线背景下的角的数量关系，侧重考查实践能力和归纳总结能力，应用结论解题时要注意分相等、互补两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7