【分析】
遇到圆的切线相关计算问题，首先联想切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此我们可以先连接OA，构造出直角三角形OAP，再在直角三角形中利用勾股定理计算PA的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵PA切$\odot O$于点A，
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$，
已知$\odot O$的半径$OA=3$，$OP=5$，
在$\mathrm{Rt}△ OAP$中，根据勾股定理可得：
$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题核心是通过连接切点与圆心构造直角三角形，结合勾股定理求解线段长度，是圆切线性质的典型基础应用。
【难度系数】
0.8

【分析】要判断圆与x轴、y轴的位置关系，需用到直线与圆的位置关系判定方法：先求出圆心到直线的距离d，再将d与圆的半径r比较，若d=r则直线与圆相切，若d＜r则相交，若d＞r则相离。本题中x轴、y轴是特殊直线，圆心到x轴的距离等于圆心纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于圆心横坐标的绝对值，算出两个距离后分别和半径4比较即可得出结论。
【解析】解：判断直线与圆的位置关系可通过比较圆心到直线的距离d与半径r的大小：
①当d=r时，直线与圆相切；
②当d＜r时，直线与圆相交；
③当d＞r时，直线与圆相离。
已知圆的圆心为$(3,4)$，半径$r=4$：
1. 圆心到x轴的距离$d_x=|4|=4$，满足$d_x=r$，因此圆与x轴相切；
2. 圆心到y轴的距离$d_y=|3|=3$，满足$d_y＜r$，因此圆与y轴相交。
综上，圆与x轴相切，与y轴相交，对应选项C。
【答案】C
【知识点】点到坐标轴的距离；直线与圆的位置关系判定
【点评】本题属于基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，解题关键是准确求出圆心到坐标轴的距离，再与半径对比即可得出结果，熟练掌握判定规则就能轻松解答。
【难度系数】0.8

【分析】
要解决这道题，首先明确圆上的点到直线的最大垂直距离的计算方法：该距离等于圆心到直线的距离加上圆的半径。已知等圆半径为5，最大距离为8，可先算出符合要求的圆的圆心到直线l的距离为8-5=3，即该圆的圆心到直线距离为3，且圆与直线相交（3＜5），再结合图中各圆的位置逐一判断即可。
【解析】
已知四个圆是半径r=5的等圆，圆上任意一点到直线l的最大垂直距离 = 圆心到直线l的距离d + 半径r。
由题知该最大距离为8，代入得：
$d + 5 = 8$，解得$d=3$，即所求圆的圆心到直线l的距离为3，且满足$d＜r$，对应圆与直线l相交的位置关系。
对各选项逐一分析：
A. $\odot O_1$与直线l相切，圆心到直线距离$d=5≠3$，不符合要求；
B. $\odot O_2$的圆心在直线l上，圆心到直线距离$d=0≠3$，不符合要求；
C. $\odot O_3$在直线l下方，与直线l相交，圆心到直线距离$d＜5$，符合$d=3$的条件，符合要求；
D. $\odot O_4$与直线l相离，圆心到直线距离$d＞5≠3$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
圆与直线的位置关系，点到直线的距离
【点评】
本题核心是理解圆上点到直线的最大距离的计算逻辑，结合图形直观判断各圆与直线的位置关系就能快速得到答案，侧重对基础性质的理解和应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆相关的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以利用该定理把三角形的各边拆分成对应相等的切线段，再结合已知的AD和BC的长度，代入三角形周长公式计算即可。首先先找出相等的切线段：AF=AD，BD=BE，CE=CF，再将周长转化为已知线段的和，就能快速算出结果。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
可得：$AF=AD=3$，$BD=BE$，$CE=CF$。
已知$BC=BE+CE=5$，因此$BD+CF=BE+CE=5$。
$△ ABC$的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ ABC}&=AB+BC+AC\\&=(AD+BD)+BC+(AF+CF)\\&=AD+AF+(BD+CF)+BC\\&=3+3+5+5\\&=16\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查切线长定理的应用，解题关键是利用切线长相等对三角形的边进行合理拆分代换，不需要复杂计算，熟练掌握定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
要比较正方形周长$a$和圆周长$b$的大小，我们可以按以下思路思考：首先以正方形边长为中间量，先把$a$用边长表示；再结合圆过$A,B$两点、与$CD$相切的性质，作辅助线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理建立圆半径与正方形边长的关系；最后将圆周长$b$也用边长表示，直接比较两者大小即可。
【解析】
设正方形$ABCD$的边长为$x$，则正方形周长$a=4x$。
连接$OA$，过点$O$作$OF⊥ AB$于点$F$，延长$FO$交$CD$于点$E$。
∵ $\odot O$与$CD$相切于点$E$，
∴ $OE⊥ CD$，且$OE=OA=r$（$r$为$\odot O$的半径）。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB// CD$，$AB=BC=x$，
∴ $EF⊥ AB$，且$EF=BC=x$。
由垂径定理得$F$为$AB$中点，
∴ $AF=\frac{1}{2}AB=\frac{x}{2}$。
又
∵ $OF=EF-OE=x-r$，
在$\mathrm{Rt}△ OAF$中，由勾股定理得：$OA^2=AF^2+OF^2$，
即$r^2=(\frac{x}{2})^2+(x-r)^2$，
展开得$r^2=\frac{x^2}{4}+x^2-2xr+r^2$，
消去$r^2$整理得$2xr=\frac{5x^2}{4}$，
∵ $x≠0$，两边除以$x$得$r=\frac{5x}{8}$。
∴ $\odot O$的周长$b=2π r=2π·\frac{5x}{8}=\frac{5π x}{4}\approx3.925x$。
∵ $a=4x$，$4x＞3.925x$，
∴ $a＞b$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与正方形结合的典型计算题，解题核心是通过作垂直辅助线构造直角三角形，将半径与正方形边长的关系转化为直角三角形的边长关系，利用勾股定理建立方程求解，考查了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题的思路如下：首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；再借助切线长定理，求出内切圆与AB、AC边交点到点A的切线长；最后结合DE是⊙O的切线，将△ADE的周长通过切线长相等的性质转化为上述两条切线长的和，即可求出结果。
【解析】
1. 求斜边AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
2. 设内切圆$\odot O$与$AB$切于点$M$，与$AC$切于点$N$，与切线$DE$切于点$Q$。根据切线长定理可得：
$AM=AN$，$BM=BP$（$P$为$\odot O$与$BC$的切点），$CP=CN$，且$DQ=DM$，$EQ=EN$。
3. 计算$AM$、$AN$的长度：
设$AM=AN=x$，$BM=BP=y$，$CP=CN=z$，则可列方程组：
$\begin{cases}x+y=AB=5\\y+z=BC=3\\x+z=AC=4\end{cases}$
三式相加得$2(x+y+z)=12$，即$x+y+z=6$，因此$x=6-(y+z)=6-3=3$，即$AM=AN=3$。
4. 计算$△ ADE$的周长：
$C_{△ ADE}=AD+DE+AE=AD+DQ+QE+AE$，
代入$DQ=DM$、$EQ=EN$得：
$C_{△ ADE}=AD+DM+EN+AE=(AD+DM)+(AE+EN)=AM+AN=3+3=6$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，核心是利用切线长相等的性质对所求三角形的周长进行转化，避免复杂计算，掌握切线长定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题可借助正多边形的外接圆分析：首先正九边形的所有顶点都在同一个外接圆上，每条边对应的外接圆弧度数相等，先计算单段弧的度数；再利用圆内两相交弦形成的角的度数等于所夹两段弧度数和的一半的性质，找到∠1所对应弧的总度数，即可求出∠1的大小。
【解析】
解：正九边形的外接圆中，每条边所对的劣弧的度数为：
$360° ÷ 9 = 40°$
∠1是圆内两条对角线相交形成的圆内角，它所对应的两段劣弧共对应3条正九边形的边，两段弧的总度数为：
$3×40°=120°$
根据圆内角的性质：圆内角的度数等于它所对两段弧的度数和的一半，因此：
$∠1=\frac{1}{2}×120°=60°$
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆，圆周角推论，圆内角计算
【点评】
本题将正多边形和圆的知识结合考查，解题的核心是建立正多边形的边和外接圆中等弧的对应关系，再结合圆的角度性质求解，能有效检验对正多边形和圆相关知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.65

【分析】
解题时先结合圆的相关性质梳理思路：1. 切线垂直于过切点的半径，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；2. 垂直于弦的直径平分弦。首先由垂径定理求出CE的长度，再结合切线性质得到PB与CD平行、PC=PB，通过建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式结合PC的长度列式，即可直接求出BE的长度。
【解析】
解：连接OC，设圆心O为坐标原点，AB所在直线为y轴，向上为y轴正方向，设$\odot O$半径为$r$。
1. 由垂径定理可知：AB是直径，$AB⊥ CD$，因此$CE=DE=\frac{1}{2}CD=\sqrt{3}$。
2. 由切线性质可知：PB、PC是$\odot O$的切线，因此$PB=PC=2\sqrt{3}$，$PB⊥ AB$。
因为$PB⊥ AB$，$CD⊥ AB$，所以$PB// CD$，PB为水平线段，点B坐标为$(0,-r)$，因此点P坐标为$(-2\sqrt{3}, -r)$。
3. 设点E的坐标为$(0,x)$，则点C坐标为$(-\sqrt{3}, x)$。
因为OC是半径，所以$OC^2=(-\sqrt{3})^2 + x^2 = r^2$，即$r^2 = x^2 + 3$ ①。
又因为$PC=2\sqrt{3}$，由两点间距离公式得：
$PC^2 = (-√3 + 2√3)^2 + (x + r)^2 = (2√3)^2$
化简得：$3 + (x + r)^2 = 12$，即$(x + r)^2=9$。
因为$x$、$r$均为正数，因此$x + r = 3$。
4. BE的长度为点$B(0,-r)$到点$E(0,x)$的距离：$BE = x - (-r) = x + r = 3$。
【答案】C
【知识点】
切线的性质，垂径定理，切线长定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，需要结合切线、垂径定理的性质梳理线段间的关系，通过建立坐标系的方法可以简化计算，解题关键是抓住切线长相等和垂直关系构造等式。
【难度系数】
0.6