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AD=AB
解：当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形
理由：当O为AC边的中点时，OA=OC
∵OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
由(2)知∠ECF=90°
∴平行四边形AECF是矩形
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC
∵AB=AE
∴DC=AE
∵四边形ACED是平行四边形
∴四边形ACED是矩形
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$证明：∵四边形ABCD是平行四边形$
$∴AD//BC，且AD=BC$
$∵C是BE的中点$
$∴BC=CE$
$∴AD=CE$
$∵AD//CE$
$∴四边形ACED是平行四边形$
$证明：∵四边形ABCD是平行四边形$
$∴∠A=∠C，∠D=∠B，AD=BC，AB=CD$
$∵E、F分别为AB、CD的中点$
$∴AE=EB=CF=FD$
$∵AG=CH$
$∴BH=DG $
$∴△AGE≌△CHF(SAS)$
$△BEH≌△DFG(SAS)$
$∴EH=GF，EG=HF$
$∴四边形EHFG是平行四边形$
$证明：连接EF$
$∵四边形ABCD是平行四边形$
$∴AB=CD，AB//CD$
$∵E、F分别为AB、CD的中点$
$∴AE=\frac{1}{2}AB，DF=\frac{1}{2}CD$
$∴AE=DF$
$∵AB//CD$
$∴四边形AEFD是平行四边形$
$∴EF=AD$
$∵GH=AD$
$∴EF=GH$
$又∵四边形EHFG是平行四边形$
$∴四边形EHFG是矩形$
$证明：∵CE平分∠ACB$
$∴∠ACE=∠ECB$
$∵MN//BC$
$∴∠ECB=∠OEC$
$∴∠ACE=∠OEC$
$∴OE=OC$
$同理可得OC=OF$
$∴OE=OF$
$解：∵CE、CF分别平分∠ACB，∠ACD $
$∠ACB+∠ACD=180°$
$∴∠ECF=∠ACE+∠ACF$
$=\frac{1}{2}(∠ACB+∠ACD)$
$=\frac{1}{2}×180°=90°$
$∴EF= \sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$
$由(1)可知OE=OF=OC$
$∴OC=\frac{1}{2}，EF=\frac{15}{2}$
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