第47页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

D

AB⊥BC

$1+\sqrt2$

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$证明：∵E是AD的中点$

$∴AE=DE $

$∵AF//BC$

$∴∠AFE=∠DBE$

$∵∠AEF=∠DEB$

$∴△AEF≌△DEB(AAS)$

$∴AF=DB$

$∵AD是BC边上的中线$

$∴DC=DB$

$∴AF=DC$

$∵AF//DC$

$∴四边形ADCF是平行四边形 $

$∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线$

$∴AD=DC$

$∴四边形ADCF是菱形$

$证明：∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴AD//BC，AD=BC$

$∴∠EAM=∠FCN$

$∵E、F分别为AD、BC的中点$

$∴AE=DE=BF=CF$

$在△AEM和△CFN中$

$\begin{cases}{AE=CF} \\ {∠EAM=∠FCN}\\{AM=CN}\end{cases}$

$∴△AEM≌△CFN(SAS) $

$∴EM=FN，∠AME=∠CNF$

$∴∠EMN=∠FNM$

$∴EM//FN$

$∴四边形EMFN是平行四边形$

$证明：连接EF交AC于点O$

$由(1)得AE//BF，AE=BF$

$∴四边形AEFB是平行四边$

$∴AB//EF$

$∵AB⊥AC$

$∴∠BAC=90°$

$∴∠COF=∠BAC=90°$

$∴EF⊥MN$

$∴四边形EMFN是菱形$

$证明：∵将矩形纸片折叠，$

$使点B与点D重合，点A 落在点E处，FG是折痕$

$∴BF=DF，BG=DG，∠BFG=∠DFG$

$∵四边形ABCD是矩形$

$∴AD=BC=8，AD//BC$

$∴∠DFG=∠BGF$

$∴∠BFG=∠BGF$

$∴BF=BG$

$∴BF=DF=BG=DG$

$∴四边形BGDF是菱形$

$解：过点F作FM⊥BC于点M，则∠FMC= ∠FMB=90°$

$∵四边形ABCD是矩形$

$∴∠A=∠ABM=90°$

$∴四边形ABMF是矩形$

$∴AB=FM=6，AF=BM$

$设AF=x，则BF=DF=8-x$

$在Rt△BAF中，由勾股定理$

$得：AB^2+AF^2=BF^2$

$即6^2+x^2=(8-x)^2$

$解得x=\frac{7}{4}$

$即AF=\frac{7}{4}，BG=DF=8-x=\frac{25}{4}$

$∴MG=BG-BM=\frac{25}{4}-\frac{7}{4}=\frac{9}{2}$

$在Rt△FMG中，由勾股定理得：$

$FG= \sqrt{FM^2+MG^2}=\sqrt{6^2+(\frac{9}{2})^2}=\frac{15}{2}$