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第49页

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$\sqrt{5}$

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$解：由(1)得△ABE≌△BCF$

$∴BE=CF$

$∵正方形ABCD的边长是5，BE=2$

$∴DF=CD-CF=CD-BE=5-2=3$

$在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF= \sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}$

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$解：当△ABC为等腰直角三角形且∠ABC=90°时，四边形ADBE是正方形。$

$理由：∵△ABC是等腰直角三角形且∠ABC=90°$

$∴AE=BE=\frac{1}{2}AF$

$∴矩形ADBE是正方形$

$证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD$

$∴∠ADE=∠GEC=90°$

$∴AD//GE$

$∴∠DAG=∠EGH$

$解：AH⊥EF$

$理由：连接GC交EF于点O$

$∵BD为正方形ABCD的对角线$

$∴∠ADG=∠CDG=45°$

$又∵DG=DG，AD=CD$

$∴△ADG≌△CDG(SAS)$

$∴∠DAG=∠DCG$

$在正方形ABCD中，∠ECF=90°$

$又∵GE⊥CD，GF⊥BC$

$∴四边形FCEG为矩形$

$∴OE=OC$

$∴∠OEC=∠OCE$

$∴∠DAG=∠OEC$

$由(1)得∠DAG=∠EGH$

$∴∠EGH=∠OEC$

$∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°$

$∴∠GHE=90°$

$∴AH⊥EF$

$证明：∵四边形ABCD是正方形$

$∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°$

$∴∠BAE+∠AEB=90°$

$∵BH⊥AE$

$∴∠AEB+∠EBH=90°$

$∴∠BAE=∠EBH$

$在△ABE和△BCF中$

$\begin{cases}{∠BAE=∠CBF} \\ {AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\end{cases}$

$∴△ABE≌△BCF(ASA)$

$∴AE=BF$

$解：四边形ADBE是矩形。$

$理由：∵BE、BD分别是△ABC中∠ABC的内、外角平分线$

$∴∠DBE=\frac{1}{2}×180°=90°$

$∵AD⊥BD，AE⊥BE$

$∴∠ADB=∠AEB=90°$

$∴∠DBE=∠ADB=∠AEB=90°$

$∴四边形ADBE是矩形$

$解：DE=BF。$

$理由：在△ABE和△FBE中$

$ \begin{cases}{∠ABE=∠FBE} \\ {BE=BE}\\{∠BEA=∠BEF}\end{cases}$

$∴△ABE△FBE(ASA)$

$∴AB=BF$

$由(1)知四边形ADBE是矩形$

$∴DE=AB$

$∴DE=BF$