第52页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

∠B=∠C=45°

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解：当∠BAC=60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。

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$解：AD=\frac{1}{3}BC$

$理由：∵AD//BC，DE//AB$

$AF//DC，AE//DF$

$∴四边形ABED，四边形AFCD，$

$四边形AEFD是平行四边形$

$∴AD=BE=EF=CF$

$∴AD=\frac{1}{3}BC$

$解：当四边形ABCD满足条件AB=CD时，四边形AEFD是矩形。$

$理由：∵AB=CD$

$四边形ABED，四边形AFCD是平行四边形$

$∴AB=DE，AF=CD$

$∴DE=AF$

$由(1)知四边形AEFD是平行四边形$

$∴四边形AEFD是矩形$

$解：四边形ADEF是平行四边形。$

$理由：∵△BCE和△ABD均为等边三角形 $

$∴BE=BC，BD=BA，∠ABD=60°，∠CBE=60°$

$又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE$

$∴∠DBE=∠ABC$

$在△BDE和△BAC中$

$\begin{cases}{BE=BC}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BD=BA}\end{cases}$

$∴△BDE≌△BAC(SAS)$

$∴DE=AC$

$∵在等边△ACF中，AC=AF$

$∴DE=AF$

$同理可得DA=EF$

$∴四边形ADEF是平行四边形$

$解：当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形$

$理由：∵∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=90°$

$∴▱ADEF是矩形$

$解：当AB=AC时，四边形ADEF是菱形$

$理由：∵AB=AC$

$∴AD=AF$

$∴▱ADEF是菱形$

$解：当∠BAC=150°$

$且AB=AC或∠ABC=∠ACB=15° 时$

$四边形ADEF是正方形。$

$证明：∵AB//CD$

$ ∴∠CDF=∠FEB$

$∠DCF=∠EBF$

$∵F是BC的中点$

$∴BF=CF$

$在△DCF和△EBF中$

$ \begin{cases}{∠CDF=∠BEF}\\{∠DCF=∠EBF}\\{FC=FB}\end{cases}$

$∴△DCF≌△EBF(AAS)$

$∴DC=BE$

$又∵DC//BE$

$∴四边形BECD是平行四边形$

$解：①BE=2$

$理由：当四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°$

$∵∠ABC=120°$

$∴∠CBE=60°$

$∴∠ECB=30°$

$∴BE=\frac{1}{2}BC=2$

$②BE=4$

$理由：当四边形BECD是菱形时，BE=EC$

$∵∠ABC=120°$

$∴∠CBE=60°$

$ ∴△CBE是等边三角形$

$∴BE=BC=4$