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D
-6
-1＜m＜0
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$​解：当y=3时，\frac{32}{x}=3​$
$​解得x=\frac{32}{3}​$
$​∵\frac{32}{3}-4=\frac{20}{3}​$
$​∴当菱形的顶点D落在反比例函数的图像上时，m的值为\frac{20}{3}​$
$​∴在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边AD始终有交点​$
$​则m的取值范围为0≤m≤\frac{20}{3}。​$
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$解：∵OA=2，OC=4$
$∴B(2,4)$
$∵双曲线y=\frac{k}{x}经过点B$
$∴k=2×4=8$
$∴反比例函数的表达式为y=\frac{8}{x} $
$∵AF=OA=2$
$∴点Q的纵坐标为2$
$把y=2代入y=\frac{8}{x}，得2=\frac{8}{x}$
$解得x=4$
$∴Q(4,2)$
$∵AD=OC=4$
$∴OD=2+4=6$
$∴点P的横坐标为6$
$把x=6代入y=\frac{8}{x}，得y=\frac{4}{3}$
$∴P(6,\frac{4}{3})$
$证明：由题意可知B(a,b)$
$∵双曲线y=\frac{k}{x}经过点B$
$∴k=ab$
$∵AD=OC=b，DE=OA=a，且P是DE的中点$
$∴P(a+b,\frac{1}{2}a)$
$∵双曲线y=\frac{k}{x}交DE于点P$
$∴(a+b)×\frac{1}{2}a=ab$
$整理，得a=b$
$∴OA=OC$
$∵四边形ABCO是矩形$
$∴四边形ABCO是正方形$
$解：∵点D的坐标为(4,3)，点C和原点O重合$
$∴CD= \sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=5$
$∵四边形ABCD为菱形$
$∴BC=AD=CD=5$
$∴点A的坐标为(4,8)$
$点B的坐标为(0,5)$
$∵点A在反比例函数y=\frac{k}{x}(x＞0)的图像上$
$∴k=4×8=32$
$∴反比例函数的表达式为y=\frac{32}{x}$
$当y=5时，\frac{32}{x}=5$
$解得x=\frac{32}{5}$
$∴当菱形的顶点B落在反比例函数的图像上时$
$m的值为\frac{32}{5}。$
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