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有一组邻边相等
四边相等
对角线互相垂直
D
C
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$证明：∵四边形ABCD是平行四边形$
$∴AD//BC$
$∴∠ADB=∠DBC$
$∵BD平分∠ABC$
$∴∠ABD=∠DBC$
$∴∠ABD=∠ADB$
$∴AB=AD$
$∴▱ABCD是菱形$
$证明：∵EF垂直平分AD$
$∴AF=DF$
$∴∠FAD=∠FDA$
$∵AD平分∠BAC$
$∴∠BAD=∠CAD$
$∴∠BAD=∠FDA$
$又∵∠AOE=∠DOF，AO=DO$
$∴△AOE≌△DOF(ASA)$
$∴EO=FO $
$又∵AO=DO$
$∴四边形AEDF是平行四边形$
$又∵AD⊥EF$
$∴四边形AEDF是菱形$
$证明：∵四边形ABCD，四边形BFDE是矩形$
$∴BC//AD，BE//DF$
$∠A=∠ABC=∠EBF=∠F=90°$
$∴四边形BNDM是平行四边形$
$∵∠ABM+∠MBN=90°，∠MBN+∠FBN=90°$
$∴∠ABM=∠FBN$
$在△ABM和△FBN中$
$\begin{cases}{∠ABM=∠FBN}\\{AB=FB}\\{∠A=∠BFN}\end{cases}$
$∴△ABM≌△FBN(ASA)$
$∴BM=BN$
$∴四边形BNDM是菱形$
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