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第37页

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$3\sqrt{3}$

$解:如图，连接EG，∵E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质，$

$得AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，$

$在\mathrm{Rt}△CEG和\mathrm{Rt}△FEG中，\begin{cases}{EG=EG，}\\{CE=FE，}\end{cases}∴\mathrm{Rt}△CEG≌\mathrm{Rt}△FEG(\mathrm{HL})，$

$∴CG=FG.$

$设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y， BG=BC-CG=10-y，$

$在\mathrm{Rt}△ABG中，由勾股定理，得6^2+(10-y)^2=(10+y)^2，$

$解得y= \frac{9}{10}，即CG的长为 \frac{9}{10} .$

（更多请查看作业精灵详解）

$(1)证明:将△ABD沿直线BD翻折180°得到△EBD，\ $

$∴∠ABD=∠FBD.\ $

$∵四边形ABCD是矩形，$

$∴AB//CD.\ $

$∴∠ABD=∠BDF.$

$∴∠BDF=∠DBF.$

$∴BF=DF.$

$（更多请查看作业精灵详解）$

$解:如图，连接BO.$

$∵四边形ABCD是矩形，$

$∴DC//AB，∠DCB=90°.\ $

$∴∠FCO=∠EAO.\ $

$在△COF和△AOE中，\ $

$\begin{cases}{∠FCO=∠EAO，}\\{∠COF=∠AOE，}\\{CF=AE，}\end{cases}$

$∴△COF≌△AOE(\mathrm{AAS})，$

$∴OE=OF，OA=OC.\ $

$∵BF=BE，$

$∴BO⊥EF，$

$在\mathrm{Rt}△BEO中，$

$∠BEF+∠ABO=90°，\ $

$由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，$

$可知BO=AO=OC，$

$∴∠BAC=∠ABO，\ $

$又∵∠BEF=2∠BAC，∠BEF+∠ABO=90°，$

$∴2∠BAC+∠BAC=90°，$

$∴∠BAC=30°，$

$∵BC=2\sqrt{3}，$

$∴AC=2BC=4\sqrt{3}，\ $

$∴AB=\sqrt {AC^2-BC^2}=6.$

$∴AB的长为6.$

$解:设CF=x，$

$∵四边形ABCD是矩形，\ $

$∴CD=AB=1，BC=AD=2，∠BCD=90°.\ $

$∴BF=DF=x+1，∠BCF=90°.\ $

$在\mathrm{Rt}△BCF中，$

$BC^2+CF^2=BF^2，$

$∴2^2+x^2=(x+1)^2，$

$解得x=\frac{3}{2}.$

$∴CF=\frac{3}{2}. $