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第39页

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$t$

$26-3t$

$(1)证明:∵DE和AF分别是△ABC的中位线和中线，\ $

$∴AD= \frac{1}{2} AB，EF是△ABC的中位线，\ $

$∴EF//AB，EF= \frac{1}{2} AB，$

$∴EF=AD，\ $

$∴四边形ADFE是平行四边形，$

$∴AF与DE互相平分.$

$（更多请查看作业精灵详解）$

$(1)证明:由题意，得AE=CF=t\mathrm{cm}.\ $

$∵四边形ABCD是平行四边形，\ $

$∴AO=CO，BO=DO，\ $

$∵点E，F不重合，$

$∴EO=FO，\ $

$∴四边形DEBF是平行四边形.$

$（更多请查看作业精灵详解）$

$解:(2)由题意可得PD=AD-AP=(24-t)\mathrm{cm}，QC= 3t\mathrm{cm}，$

$∵AD//BC，∴PD//QC.\ $

$∴当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形 .$

$由PD=QC得，24-t=3t，解得t=6.\ $

$∴当运动时间为6\mathrm{s}时，四边形PQCD为平行四边形.$

$(3)∵AD//BC，∴AP//BQ.$

$∴当AP=BQ时，四边形ABQP为平行四边形.$

$由AP=BQ，得t=26-3t，解得t=\frac{13}{2}.$

$又∵∠B=90°，∴平行四边形ABQP为矩形.$

$∴当运动时间为\frac{13}{2}\mathrm{s}时，四边形ABQP为矩形.$

$解:当AF=\frac{1}{2}BC时，四边形ADFE为矩形.$

$理由:∵线段DE为△ABC的中位线，$

$∴DE=\frac{1}{2} BC.\ $

$∵AF=\frac{1}{2} BC，$

$∴AF=DE.\ $

$由(1)得，四边形ADFE是平行四边形，\ $

$∴四边形ADFE为矩形.$

$解:∵AO=CO=\frac{1}{2}AC=8\mathrm{cm}，$

$BO=DO=\frac{1}{2}BD=6\mathrm{cm}，$

$∴当OE=OB时，$

$AO-AE=BO或AE-AO=BO，$

$∴8-t=6或t-8=6，$

$∴t=2或t=14.\ $

$∴当t=2\mathrm{s}或14\mathrm{s}时，四边形DEBF是矩形.$