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第45页

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12.5

$(1)证明:∵四边形ABCD为正方形，\ $

$∴CD=AB，∠ABE=∠CDF=45°.\ $

$又∵BE=DF，$

$∴△ABE≌△CDF(\mathrm{SAS}).$

$（更多请查看作业精灵详解）$

$(1)证明:∵四边形ABCD为正方形，$

$∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=90°.$

$∵∠EAF=90°，$

$∴∠EAD+∠FAD=90°，∠EAD+∠BAE=90°.$

$∴∠BAE=∠DAF.$

$在△ABE和△ADF中，\begin{cases}{∠BAE=∠DAF，}\\{AB=AD，}\\{∠ABE=∠ADF，}\end{cases}$

$∴△ABE≌△ADF(\mathrm{ASA}).∴BE=DF.$

$（更多请查看作业精灵详解）$

$(1)证明:∵四边形ABCD是正方形，$

$∴∠D=∠A=90°.$

$∵四边形EFGH是菱形，$

$∴HG=HE.$

$∵DG=AH=2，$

$∴\mathrm{Rt}△HDG≌\mathrm{Rt}△EAH(\mathrm{HL}).$

$∴∠DHG=∠AEH.$

$∴∠DHG+∠AHE=90°.$

$∴∠GHE=90°.$

$∴菱形EFGH为正方形.$

$（更多请查看作业精灵详解）$

$解:如图，连接AC交BD于点O. $

$∵四边形ABCD是正方形，$

$∴AC⊥BD，AO=CO，DO=BO. $

$又∵DF=BE，$

$OF=OE， $

$∴四边形AECF是平行四边形.$

$∵AC⊥EF，$

$∴四边形AECF是菱形.$

$∵AB=3\sqrt{2}，$

$∴AC=BD=6.$

$∵BE=DF=2，$

$∴EF=2，$

$∴四边形AECF的面积为$

$\frac{1}{2}AC•EF=\frac{1}{2}×6×2=6.$

$证明:∵△ABE≌△ADF，$

$∴AE=AF.$

$∵∠EAF的平分线交CD于点G，$

$∴∠EAG=∠FAG.$

$在△AEG和△AFG中，$

$\begin{cases}{AE=AF，}\\{∠EAG=∠FAG，}\\{AG=AG，}\end{cases}$

$∴△AEG≌△AFG(\mathrm{SAS}).$

$∴GE=GF.$

$∵GF=DG+DF，而BE=DF，$

$∴BE+DG=EG. $

$解:如图，过点F作FM⊥CD，$

$交DC的延长线于点M，连接GE.$

$∵四边形ABCD是正方形，$

$∴∠A=90°，CD//AB.\ $

$∴∠AEG=∠MGE.$

$∵四边形EFGH是菱形，$

$∴HE//GF，HE=GF.$

$∴∠HEG=∠FGE.$

$∴∠HEA=∠FGM.$

$∵FM⊥CD，$

$∴∠M=90°.$

$∴∠M=∠A.\ $

$在△AEH和△MGF中，\ $

$\begin{cases}{∠A=∠M，}\\{∠AEH=∠MGF，}\\{HE=FG，}\end{cases}$

$\ ∴△AEH≌△MGF(\mathrm{AAS}).$

$∴FM=AH=2.\ $

$∴S_{△FCG}=\frac{1}{2}CG•FM=1.$

$∴CG=1.$

$∴DG=DC-CG=6-1=5. $