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第46页

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2或5

40°

$\frac{13}{5}$

$(1)证明:由折叠的性质，得AF=CF，AE=CE，\ $

$∠AFE=∠CFE，∠AEF=∠CEF.\ $

$∵四边形ABCD是矩形，$

$∴CD//AB.\ $

$∴∠CFE=∠AEF.\ $

$∴∠AFE=∠CFE=∠AEF.\ $

$∴AE=AF=CF=CE.\ $

$∴四边形AECF是菱形（更多请查看作业精灵详解）$

$(1)证明:∵四边形ABCD是矩形，$

$∴∠A=∠ADC=∠B=∠C=90°，AB=CD.$

$由折叠得AB=PD，∠A=∠P=90°，∠B=∠PDF=90°，$

$∴PD=CD. ∵∠PDF=∠ADC，∴∠PDE=∠CDF.$

$在△PDE和△CDF中，\begin{cases}{∠P=∠C=90°，}\\{PD=CD，}\\{∠PDE=∠CDF，}\end{cases}∴△PDE≌△CDF(\mathrm{ASA}).$

$（更多请查看作业精灵详解）$

$解:如图，过点E作EH⊥CD于点H. $

$∵四边形ABCD是矩形，$

$∴四边形BCHE是矩形.$

$∴EH=BC=4，CH=BE.$

$又由折叠的性质，知CE+BE=AB=8， $

$设BE=x，则CE=8-x， $

$在\mathrm{Rt}△CEB中，$

$由勾股定理，得x^2+4^2=(8-x)^2，$

$解得x=3，则BE=3，CE=5. $

$ \begin{aligned}∴FH&=CF-CH \\ &=CE-BE \\ &=5-3 \\ &=2. \\ \end{aligned}$

$在\mathrm{Rt}△EFH中，$

$由勾股定理，得EF= \sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}.$

$解:如图，过点E作EG⊥BC于点G，$

$∴∠EGF=90°，EG=CD=4\mathrm{cm}. $

$在\mathrm{Rt}△EGF中，$

$由勾股定理，得FG= \sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{cm}). $

$设CF=xcm， $

$由(1)知，BG=AE=PE=CF=x\mathrm{cm}. $

$∵AD//BC，$

$∴∠DEF=∠BFE，$

$由折叠得∠BFE=∠DFE， $

$∴∠DEF=∠DFE.$

$∴DE=DF=BF=(x+3)\mathrm{cm}.$

$在\mathrm{Rt}△CDF中，$

$由勾股定理，得DF^2=CD^2+CF^2，$

$∴(x+3)^2=4^2+x^2，解得x=\frac{7}{6}，$

$ \begin{aligned}∴BC&=2x+3 \\ &=\frac{7}{3}+3 \\ &=\frac{16}{3}(\mathrm{cm}). \\ \end{aligned}$