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D
①②③④
$(1)证明:∵CD⊥AB，BE⊥AC，$
$∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°.$
$∵∠DBF+∠A=90°，∠DCA+∠A=90°，∴∠DBF=∠DCA.$
$又∵BD=CD，$
$∴△BDF≌△CDA(\mathrm{ASA}).∴BF=AC$
$(2)证明:∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.$
$∵∠BEA=∠BEC=90°，$
$∴∠ABE+∠BAC=90°，∠BCA+∠CBE=90°.$
$∴∠BAC=∠BCA.∴BC=BA.$
$∵BE⊥AC，∴CE=EA.$
$∴BE是AC的中垂线.$
$（更多请查看作业精灵详解）$
$(3)解:如图，连接AF.$
$∵△BDF≌△CDA，$
$∴AD=DF=2，$
$∴AF=2\sqrt{2}.$
$∵BE垂直平分AC，$
$∴CF=AF=2\sqrt{2}.$
$∴BD=CD=2+2\sqrt{2}.$
$∴AB=BD+AD=4+2\sqrt{2}. $
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