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第15页

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$5\sqrt{2}或4\sqrt{5} $

$(1)证明:在\mathrm{Rt}△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC.$

$又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，$

$∴AE=AB，AB=2AF.∴AF=BC.$

$在\mathrm{Rt}△AFE和\mathrm{Rt}△BCA中，\begin{cases}{AF=BA，}\\{AF=BC，}\end{cases}$

$∴\mathrm{Rt}△AFE≌\mathrm{Rt}△BCA(\mathrm{HL}).∴AC=EF.（更多请查看作业精灵详解）$

（更多请查看作业精灵详解）

$证明:∵△ACD是等边三角形，$

$∴∠DAC=60°，AC=AD.$

$∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°.$

$又∵EF⊥AB，$

$∴EF//AD.$

$∵AC=EF，AC=AD，$

$∴EF=AD.$

$∴四边形ADFE是平行四边形$

$解:∵四边形OABC为矩形，$

$∴OA//BC，AB//OC，OA=BC，AB=OC，$

$∠AOC=∠OAB=∠OCB=∠ABC=90°. $

$∵A(0,3)，C(4,0)，$

$∴AO=BC=3，OC=AB=4.$

$由旋转可知四边形CDEF为矩形且DE=OA=3，$

$DC=OC=4. $

$如图，连接CE，$

$则在\mathrm{Rt}△CDE中，$

$CE=\sqrt {CD^2+DE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5，$

$过点B作BG⊥EF交EF于点H，且使BG=CF，$

$连接BE，GF，GE，则∠BHE=∠CFE=90°，$

$∴BG//CF.$

$又∵CF//DE，CF=DE，$

$∴BG=CF，BG=DE，BG//CF，BG//DE.$

$∴四边形CBGF和四边形DBGE均为平行四边形.$

$∴BC=FG，BD=EG.$

$∵BG⊥EF于点H，$

$∴∠BHF=∠FHG=∠GHE=∠BHE=90°.$

$∴BF^2=BH^2+HF^2，$

$BD^2=EG^2=HE^2+HG^2. $

$∴BF^2+BD^2=BH^2+HF^2+HE^2+HG^2. $

$又∵BE^2=BH^2+HE^2，$

$BC^2=GF^2=HF^2+HG^2，$

$∴BE^2+BC^2=BH^2+HE^2+HF^2+HG^2， $

$∴BF^2+BD^2=BE^2+BC^2.$

$∴BF^2+BD^2-BC^2=BE^2. $

$∴当BE最小时，BF^2+BD^2-BC^2才最小， $

$当C，B，E三点不共线时，$

$在△CBE中，BE＞CE-CB； $

$当C，B，E三点共线时(点E在CB的延长线上)，$

$BE=CE-CB.$

$综上所述BE≥CE-CB=5-3=2，即BE≥2，$

$∴BE的最小值为2， $

$∴BF^2+BD^2-BC^2的最小值为4. $