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$(1)解:四边形PBCE是平行四边形.$

$理由: ∵CF//AB，PE//BC.$

$∴四边形PBCE是平行四边形.$

$(2)证明:∵△ABC是等边三角形，\ $

$∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，BC=CA.\ $

$∵CF//AB，∴∠ACF=∠BAC.∴∠ACF=∠B.\ $

$由(1)知，四边形PBCE是平行四边形，∴PB=EC.\ \ $

$在△BPC和△CEA中，\begin{cases}{PB=EC，}\\{∠B=∠ACE，}\\{BC=CA，\ }\end{cases}\ $

$∴△BPC≌△CEA(\mathrm{SAS}).∴CP=AE.（更多请查看作业精灵详解）$

$解:当P为AB的中点时，四边形APCE是矩形.$

$理由:∵P为AB的中点，$

$∴AP=BP.$

$又由(2)知BP=CE，$

$∴AP=CE.$

$∵CF//AB，$

$∴四边形APCE是平行四边形.$

$∵△ABC是等边三角形，P为AB的中点，$

$∴CP⊥AB.$

$∴∠APC=90°.$

$∴▱APCE是矩形. $