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67.5°

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$解:①在移动过程中α+β为定值，这个定值是45°.$

$求法如下:连接DN，如图. $

$∵AC所在直线是正方形ABCD的一条对称轴，点B与点D是对称点，$

$∴∠ADN=∠ABN=α，DN=BN，$

$ ∠CND=∠CNB=∠BAC+∠ABN=45°+α$

$∵NB=NP，$

$ ∴∠NPB=∠NBP=∠ABC-∠ABN=90°-α，DN=PN.$

$∴∠NPB=∠ACB+∠CNP=45°+∠CNP，$

$∠NDP=∠NPD. $

$∴∠CNP=∠NPB-45°=90°-α-45°=45°-α.$

$∴∠PND=∠CND+∠CNP=45°+α+45°-α=90°.$

$∴∠NDP=∠NPD=45°.$

$∴α+β=∠ADN+∠CDM=∠ADC-∠NDP=45°. $

$②线段AN，NM，MC的数量关系为:$

$AN^2+MC^2=NM^2， $

$理由如下:将△CDM绕着点D顺时针旋转90°得到△ADM'，$

$连接M'N，如图所示. $

$∴M'A=MC，M'D=MD，$

$∠M'AD=∠MCD=45°，∠ADM'=∠CDM.$

$∴∠M'AN=∠M'AD+∠CAD=90°.$

$∴AN^2+MC^2=AN^2+M'A^2=M'N^2.$

$由①知:∠ADN+∠CDM=45°，∠NDP=45°，$

$∴∠ADN+∠ADM'=45°，$

$即有∠M'DN=45°=∠MDN.$

$在△M'DN和△MDN中，$

$\begin{cases}{M'D=MD，}\\{∠M'DN=∠MDN，}\\{DN=DN，}\end{cases}$

$∴△M'DN≌△MDN(\mathrm{SAS}).$

$∴M'N=MN.$

$∴AN^2+MC^2=M'N^2=MN^2. $