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B
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$\sqrt{34}$
$\frac {3\sqrt 2}{2}$
（更多请查看作业精灵详解）
$证明:∵AD=CD，$
$∠ADE=∠CDF=90°-∠CDE，$
$DE=DF，$
$∴△ADE≌△CDF(\mathrm{SAS}).$
$∴AE=CF.$
$∴AE+CE=CF+CE=EF.$
$∵EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2DE^2}=\sqrt 2DE，$
$∴AE+CE=\sqrt 2DE. $
$①解:不成立，AE^2+CE^2=2DE^2.$
$理由:连接CF，如图.$

$∵AD=CD，∠ADC=90°，$
$∴∠DAC=∠DCA=45°.$
$由旋转得DE=DF，∠EDF=90°，$
$∴∠ADE=∠CDF=90°-∠CDE.$
$∴△ADE≌△CDF(\mathrm{SAS}).$
$∴AE=CF，∠DAE=∠DCF=45°.$
$∴∠ECF=∠DCA+∠DCF=90°.$
$∴CF^2+CE^2=EF^2.$
$∴AE^2+CE^2=EF^2.$
$∵EF^2=DE^2+DF^2=2DE^2，$
$∴AE^2+CE^2=2DE^2.$
$②\frac{3\sqrt{2}}{2}.$
$求法如下:如图，连接CF，$
$作PG⊥CF于点G，则∠CGP=90°.$

$由①知∠DCF=45°，$
$∴∠GPC=∠GCP=45°.$
$∴PG=CG.$
$∴CP^2=PG^2+CG^2=2PG^2.$
$∴PG=\frac{\sqrt{2}}{2}CP.$
$∵AB=CD=4，点P在CD上，且CP=3PD，$
$∴CP=\frac{3}{4}CD=\frac{3}{4}×4=3.$
$∴PG=\frac{\sqrt{2}}{2}×3=\frac{3\sqrt 2}{2}.$
$当点F与点G重合时，PF=PG，$
$此时线段PF最短，$
$∴PF的最小值为\frac{3\sqrt{2}}{2}. $
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