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$\frac{1}{4}或\frac{3}{2} $

$解:(1)∵反比例函数y=\frac kx的图像经过点A(1,2)，\ $

$∴2= \frac{k}{1}，$

$∴k=2，$

$∴反比例函数的表达式为y= \frac{2}{x}.$

$（更多请查看作业精灵详解）$

$解:∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，$

$边分别与坐标轴平行，$

$∴设B点的坐标为(m,m)，$

$∵反比例函数y=\frac{2}{x}的图像经过点B，$

$∴m=\frac{2}{m}，$

$∴m^2=2，$

$∴小正方形的面积为4m^2=8.$

$∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，$

$边分别与坐标轴平行，且A(1,2)，$

$∴大正方形在第一象限的顶点坐标为(2,2)，$

$∴大正方形的面积为4×2^2=16，$

$ \begin{aligned} ∴图中阴影部分的面积&=大正方形的面积-小正方形的面积 \\ &=16-8 \\ &=8. \\ \end{aligned}$