第47页 - 通城学典课时作业本八年级数学苏科版江苏

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$证明：∵DE⊥AB,DF⊥BC,$

$∴∠AED=∠CFD=90°.$

$∵D为AC的中点，\ $

$∴ AD=CD.\ $

$在Rt△AED和Rt△CFD 中，$

${{\begin{cases}{{AD=CD}}\\{DE=DF} \end{cases}}}$

$∴Rt△AED≌Rt△CFD(HL)$

$∴ ∠A=∠C，$

$∴AB=BC.$

$∵AB=AC，$

$∴AB=BC=AC，$

$∴△ABC是等边三角形$

$证明：∵ △ABC是等边三角形，$

$∴ AB=CB，∠ACB=60°.$

$∵BD是△ABC的中线，$

$∴ BD⊥AC，$

$∴ 在Rt△BDC中，∠DBC=30°.$

$根据画图痕迹，得BD=DE，$

$∴∠E=∠DBC=30°.$

$∵∠ACB是△DCE的外角，$

$∴∠ACB=∠CDE+∠E，$

$∴∠CDE=30°，$

$∴∠E=∠CDE，$

$∴CD=CE$

$证明：如图，过点M作MQ//BC,交AC于点Q.$

$∵△ABC是等边三角形，$

$∴ ∠A =∠B =∠ACB = 60°.\ $

$∵ MQ//BC,$

$∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N$

$∴∠AMQ=∠AQM=∠A,$

$∴△AMQ是等边三角形.$

$∴AM=QM.$

$∵AM=CN,$

$∴QM=CN.$

$在△QMP和△CNP中,$

${{\begin{cases} { {∠QPM=∠CPN,\ }} \\{∠QMP=∠N，} \\ {QM=CN，} \end{cases}}}$

$∴△QMP≌△CNP(AAS),$

$∴MP=NP$