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C
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$证明：(1)因为AB=AC,P是边BC的中点，$
$所以 AP⊥BC,BP=CP.$
$所以∠APB=90°.$
$在Rt△APB中,由勾股定理得AB²-AP²=BP².$
$又 BP²=BP·CP,$
$所以BP·CP=AB²-AP².$
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$解：(2)成立.证明如下:$
$过点A 作AD⊥BC于 点D，$
$则∠ADB=90°.$
$又AB=AC，$
$所以BD=CD.$
$在Rt△ADB 中，由勾股定理得，AD²=AB²-BD².$
$同理得AD²=AP²-PD².$
$所以AB²-BD²=AP²-PD²,$
$即AB²-AP²=BD²-PD²=(BD-PD)(BD+PD).$
$又BD-PD=BP,BD+PD=CD+PD=CP,$
$所以BP·CP=AB²-AP².$

$解：(3)BP·CP=AP²-AB²,$
$证明如下:$
$过点A 作AH⊥BC于点H，$
$则∠AHP=90°.$
$又AB=AC,$
$所以BH=CH.$
$同(2)得AH²=AP²-PH²=AC²-CH²,$
$所以AP²-PH²=AC²-CH²，$
$即AP²-AC²=PH²-CH²=(PH-CH) . (PH+CH).$
$因为 PH-CH=CP，PH+CH=PH+BH=BP，$
$所以BP·CP=AP²-AB².$
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