$解：(1)由图②得，当t=0时，$ $P，Q两点分别在 A,D两点处,$ $此时y的值为正方形ABCD 的面积.$ $所以正方形ABCD的面积为144\ \mathrm {cm}².$ $又因为正方形 ABCD 的面积为AB²，$ $所以 AB=12\ \mathrm {cm}.$ $（更多请点击查看作业精灵详解）$ $解：(1)由题意得a-4=0，4-b=0，$ $解得a=4, b=4.$ $所以点A的坐标为(4,0)，$ $点B的坐标为 (0,4).$ $（更多请点击查看作业精灵详解）$
$解：(2)由图②得，当t=4时，$ $点P运动到点B处，点Q在边CD 上，$ $所以 y=S_{正方形ABCD}-S_{△AMP}-S_{△DMQ}.\ $ $由(1)得AB=12\ \mathrm {cm}，$ $所以AD=12\ \mathrm {cm}.$ $又因为M是AD的中点，$ $所以AM=DM=6\ \mathrm {cm}.$ $设点Q的速度为a\ \mathrm {cm}/s,$ $则点P的速度为ma\ \mathrm {cm}/s.$ $又当t=4时，y=96，$ $所以96=144-\frac{1}{2}×6·4a=\frac{1}{2}×6×12,$ $4ma=12,$ $解得a=1，m=3.$ $则m的值为3.$
$解：(3)由(2)得，a=1，m=3，$ $则点P 的速度为 3\ \mathrm {cm}/s，$ $点Q的速度为1\ \mathrm {cm}/s.$ $所以点P运动到点C时，$ $所需的时间为12×2÷3=8(\mathrm {s})，$ $点Q运动到点C时，$ $所需的时间为12÷1=12(\mathrm {s}).$ $所以当t=8时，DQ=8\ \mathrm {cm}，$ $即 PQ=CQ=4\ \mathrm {cm}.$ $此时y=\frac{1}{2}×4×6=12,$ $所以点E的坐标为(8,12).$ $当y=0时,P,Q 两点相遇，$ $所以3t+t=12×3，$ $解得t=9.$ $则点F的坐标为(9,0).$ $设线段EF所在直线的函数表达式为y=kx+b,$ $则\begin{cases}{8k+b=12，}\\{9k+b=0，}\end{cases}$ $解得\begin{cases}{k=-12，}\\{b=108.}\end{cases}$ $所以线段EF所在直线的函数表达式为y=-12t+108.$
$解：(2)作∠AOB 的平分线，交BD于点G.$ $因为∠AOB = 90°，\ $ $所以 ∠BOG = ∠DOG =\frac{1}{2}∠AOB=45°.$ $由(1)得点A 的坐标为(4,0)，$ $点B的坐标为(0,4)，$ $所以BO=OA=4.$ $所以△AOB是等腰直角三角形，$ $即∠OAE=45°.\ $ $所以∠BOG=∠OAE.\ $ $因为OE⊥BD,$ $所以∠OFD=90°,$ $所以∠AOE+∠ODF=90°.$ $又因为∠OBG+∠ODF=90°，$ $所以∠OBG=∠AOE.\ $ $所以△BOG≌△OAE(\mathrm {ASA}).$ $所以OG=AE.$ $因为D为 OA 的中点，$ $所以OD=AD.$ $又∠DOG=∠DAE=45°,$ $所以△GOD≌△EAD(\mathrm {SAS}).$ $所以∠BDO=∠EDA,$
$解：(3)线段OQ的长不变.$ $由(1)(2)得点A 的坐标为(4,0),$ $BO=4.$ $设点P 的坐标为(m，0)(m＞4),$ $则PO=m.$ $过点M作MN⊥x轴，垂足为 N,$ $则∠MNP =∠POB=90°.\ $ $所以∠BPO+∠PBO=90°.$ $因为∠BPM=90°，$ $∠BPO+∠BPM+∠MPN = 180°,$ $所以∠BPO+∠MPN=180°-∠BPM=90°.$ $所以∠MPN=∠PBO.$ $又因为PM=BP,$ $所以△MPN≌△PBO(\mathrm {AAS}).$ $所以 MN=PO=m,PN=BO=4.$ $所以ON=PO+PN=m+4.$ $所以点M的坐标为(m+4,m).$ $设直线AM对应的函数表达式为y=kx+n，$ $把A(4,0),M(m+4,m)分所别代入,$ $得\begin{cases}{(m+4)k+n=m，}\\{4k+n=0，}\end{cases}$ $解得\begin{cases}{k=1，}\\{n=-4.}\end{cases}$ $所以直线AM对应的函数表达式为y=x-4.$ $令x=0，得y= 4,$ $所以点Q的坐标为(0,-4).$ $所以线段OQ的长不变，且OQ=4.$
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