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第22页

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$解：(1)设经过A,B两点的直线对应的函数表达式为y=kx+b.$

$把A(0,3),B(-4,0)分别代入y=kx+b中,$

$得\begin{cases}{b=3，}\\{-4k+b=0，}\end{cases}解得\begin{cases}{k=\frac 34，}\\{b=3.}\end{cases}$

$所以经过A,B 两点的直线对应的函数表达式为 y=\frac{3}{4}x+3.$

$(2)因为∠PAQ=∠BAO，$

$所以∠PAQ-∠PAO = ∠BAO - ∠PAO, 即 ∠OAQ =∠CAP.$

$由题意，得AP=AQ，$

$所以当AC=AO时，△ACP≌△AOQ(\mathrm {SAS}).$

$因为点A的坐标为(0,3)，$

$所以CA=OA=3.$

$过点C作CH⊥y轴于点H，则∠CHA=90°.$

$由(1)，得直线AB的函数表达式为y=\frac{3}{4}x+3，且点C在线段AB上，横坐标为m，$

$所以点C的坐标为(m,\frac{3}{4}m+3).$

$所以CH=-m,OH=\frac{3}{4}m+3，即 AH=OA-OH=-\frac{3}{4}m.$

$在Rt△ACH 中，由勾股定理，得CA=\sqrt{CH²+AH²}=-\frac{5}{4}m，$

$即-\frac{5}{4}m=3，解得m=-\frac{12}{5}.$

$则当 m 的值为-\frac{12}{5}时，△ACP≌△AOQ,$

$（更多请点击查看作业精灵详解）$

$解：(3)①存在.$

$当点D在点A下方时，$

$因为∠PAQ=∠BAO,$

$所以∠PAQ-∠PAO=∠BAO-∠PAO,$

$即∠DAQ=∠BAP.\ $

$因为AQ=AP，$

$所以当 AD=AB 时,△ADQ≌△ABP(\mathrm {SAS}).$

$此时∠ADQ=∠ABP,大小不变，符合题意.\ $

$由题意，得OA=3，OB=4.$

$因为∠AOB =90°,$

$所以由勾股定理，得$

$AB =\sqrt{OA²+OB²}=5，$

$即AD=5.$

$所以OD=AD-OA=2.$

$所以点D的坐标为(0,-2).\ $

$②由(3)①得点 D 的坐标为(0，-2),AD=AB=5，$

$如图，作∠ADG=∠ABO，得点Q在射线DG上运动.$

$过点O作OE⊥DG于点E，$

$过点A作AF⊥DG于点F，$

$过点F作FM⊥y轴于点 M,\ $

$连接 OF，$

$则∠OED = ∠AFD =∠AMF=∠OMF=∠AOB=90°.$

$所以△ADF≌△ABO(\mathrm {AAS}).$

$所以∠DAF=∠BAO,FA= OA=3,FD=OB=4.$

$因为 S_{△ADF}=\frac{1}{2}FA·FD = \frac{1}{2}AD·FM，$

$所以 FM = \frac{12}{5} .$

$在Rt△AFM中, 由勾股定理, 得$

$AM =\sqrt{FA²-FM²}=\frac{9}{5}.$

$所以OM=OA-AM=\frac{6}{5}$

$在 Rt△OFM 中，由勾股定理，得$

$OF=\sqrt{OM²+FM²}=\sqrt{\frac{36}{5}}.$

$因为 S_{△ODF}=\frac{1}{2}OD·FM=\frac{1}{2}FD·OE，$

$且OD=2,$

$所以OE=\frac{6}{5}.$

$因为点P 不与点O重合，$

$所以点Q不与点F重合，$

$即OE≤OQ＜OF.$

$所以\frac{6}{5}≤OQ＜ \sqrt{\frac{36}{5}}.$

$则线段OQ的长的取值范围为\frac{6}{5}≤OQ＜ \sqrt{\frac{36}{5}}.$