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$解：(1)由题意，把A(m,2)代入y=x中，得m=2，\ $
$所以点A的坐标为(2,2),$
$把A(2,2),B(0,5)分别代入y=kr+b中,$
$得\begin{cases}{2k+b=2，}\\{b=5，}\end{cases}解得\begin{cases}{k=-\frac 32，}\\{b=5.}\end{cases}\ $
$所以直线l_{1}的函数表达式为y=-\frac{3}{2}x+5.$
$(2)过点A分别作AM⊥x轴于点M,AN⊥y轴 于点N.$
$由(1)，得点A的坐标为(2,2)，直线l_{1}的函数表达式为y=-\frac{3}{2}x+5.$
$所以AM=AN=2.$
$在y=-\frac{3}{2}x+5中，$
$令y=0，得-\frac{3}{2}x+5=0，解得x=\frac{10}{3}，$
$所以点C的坐标为(\frac{10}{3},0).$
$所以OC=\frac{10}{3}.\ $
$因为 S_{△AOP}=\frac{1}{2}OP·AN,S_{△AOC}=\frac{1}{2}OC·AM,且S_{△AOP}=S_{△AOC}，$
$所以OP=OC=\frac{10}{3}.$
$所以点P的坐标为(0，\frac{10}{3})或(0，\frac{10}{3}).$
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$解：(3)由(1)得直线l_{1}的函数表达式为y=-\frac{3}{2}x+5.$
$设点E的坐标为(a,-\frac{3}{2}a+5),$
$则点 F的坐标为(a,a)，$
$所以EF=|-\frac{3}{2}a+5-a|=|-\frac{5}{2}+5|.$
$若△EFH 为等腰直角三角形，$
$则a 分类讨论如下:$
$① 当∠EHF=90°且HE=HF时，$

$过点 H 作 HD⊥EF 于点 D,$
$则 HD=\frac{1}{2}EF,$
$所以|a|=|-\frac{5}{4}a+\frac{5}{2}|,$
$解得a=\frac{10}{9}或10.$
$当a=\frac{10}{9}时，-\frac{3}{2}a+5=\frac{10}{3}，$
$所以点E的坐标为(\frac{10}{9}，\frac{10}{3}).$
$当a=10时，-\frac{3}{2}a+5=-10,$
$所以点E的坐标为(10,-10);$
$② 当∠FEH=90°且EF=EH时，$
$|-\frac{5}{2}a+5|=|a|,$
$解得a=\frac{10}{7}或\frac{10}{3}.$
$当a=\frac{10}{7}时，-\frac{3}{2}a+5=\frac{20}{7}，$
$所以点E的坐标为(\frac{10}{7}，\frac{20}{7});$
$当a=\frac{10}{3}时，-\frac{3}{2}a+5=0，$
$所以点E的坐标为(\frac{10}{3}，0);$
$③当∠EFH=90°且EF=FH时,$
$|-\frac{5}{2}a+5|=|a|，$
$同理，得点E的坐标为(\frac{10}{7}，\frac{20}{7})或 (\frac{10}{3},0).\ $
$综上，点 E 的坐标为(\frac{10}{9}，\frac{10}{3})或(10,-10)或(\frac{10}{7}，\frac{20}{7})或(\frac{10}{3},0).$
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