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C

B
$\frac{9}{4} $
(1，0)
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$解：(1)设直线AB 的函数表达式为y=kx+b.$
$把A(1,0),B(0,1)分别代入y=kx+b,\ $
$得\begin{cases}{k+b=0，}\\{b=1，}\end{cases}$
$解得\begin{cases}{k=-1，}\\{b=1.}\end{cases}$
$所以直线AB的函数表达式为y=-x+1.$
$解：(2)因为点A 的坐标为(1,0),$
$点 B 的坐标为 (0,1),$
$所以OA=OB=1.$
$在Rt△AOB中，由勾股定理，得$
$AB= \sqrt{OA²+OB²}= \sqrt{2}.$
$由折叠的性质，得 OA=OA=1，$
$所以 O'B=AB-O'A=\sqrt{2}-1.$
$解：(3)① 由旋转的性质，得\ $
$CA=AP，∠PAC= 90°，$
$所以∠ACP=∠APC=\frac{1}{2}(180°-∠PAC)=45°.$
$因为点P 在y轴负半轴上，$
$所以当△PAD为等腰三角形时，$
$分类讨论如下:$
$若AD=PD，$
$则∠PAD=∠APC=45°.$
$由(2)得OA=OB=1,AB= \sqrt{2}，$
$且∠AOB=90°，$
$所以∠OAB=∠OBA=\frac{1}{2}(180°-∠AOB)=45°.$
$所以∠PAD=∠OAB,$
$即点P与点O重合，不符合题意;$
$如图①，若AP=PD，$
$则∠PAD=∠PDA=\frac{1}{2}(180°-∠APC)=67.5°.$
$所以∠APB=180°-∠PAD-∠OBA=67. 5°，$
$即∠APB =∠PAD.\ $
$所以BP=AB，$
$即 BP= \sqrt{2}.$
$所以 OP=BP-OB=\sqrt{2}-1，$
$即点P 的坐标为(0,1- \sqrt{2});$

$如图②，若AD=AP,$
$则∠ADP =∠APC= 45°.$
$所以∠PAD=180°-∠ADP-∠APC=90°\ $
$所以∠OAP=∠PAD-∠OAB=45°.$
$所以∠OPA=90°-∠OAP=45°,$
$即∠OPA=∠OAP.$
$所以OP=OA=1.$
$所以点 P 的坐标为(0，-1).$
$综 上，点P 的坐标为(0,1- \sqrt{2})或(0，-1).$

$\ ②点C到x轴的距离是定值，且定值为1.$
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