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$证明：(1)因为 AD 平分∠BAC,AD⊥BC，$
$所以 ∠BAD=∠CAD,∠ADB =∠ADC=90°.\ $
$又因为AD=AD,$
$所以△ABD≌△ACD(\mathrm {ASA}).\ $
$所以AB=AC.$
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$解：(2)①因为AD是△ABC的角平分线，AD⊥BF，$
$所以△ABF 是等腰三角形.$
$所以 AB=AF,∠ABF=∠AFB,BE =EF=\frac{1}{2}BF.$
$因为∠ABF = 2∠C,$
$所以 ∠AFB = 2∠C.$
$又∠AFB=∠FBC+∠C,$
$所以∠FBC=∠C.$
$所以 BF=CF.$
$所以 BE=\frac{1}{2}CF$
$=\frac{1}{2}(AC-AF)$
$=\frac{1}{2}(AC-AB).$

$②当△BCD 的面积最大时,CD 的长为\frac{3}{2}.$

$解：(3)分别延长MO,NO交AB于P,Q两点.$
$因为AO,BO分别平分∠BAC和∠ABC,OM⊥OA,ON⊥OB,$
$所以△AMP 和△BNQ都是等腰三角形.$
$所以 AM=AP,MO=PO,BN=BQ,NO=QO.\ $
$因为∠MON=∠POQ,$
$所以△MON≌△POQ(\mathrm {SAS}).$
$所以 MN=PQ.$
$设AM=AP=x\ \mathrm {m},BN=BQ=y\ \mathrm {m}.$
$因为AC=30\ \mathrm {m},BC=40\ \mathrm {m}，$
$所以CM=AC-AM=(30-x)\ \mathrm {m},$
$CN=BC-BN=(40-y)\ \mathrm {m}.$
$又因为∠ACB=90°,$
$所以 AB = \sqrt{AC²+BC} =50\ \mathrm {m}.\ $
$所以MN=PQ=AP+BQ-AB=(x+y-50)\ \mathrm {m}.$
$所以CM+CN+MN=20\ \mathrm {m}.$
$则需要围挡20\ \mathrm {m}.$
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