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A
B
B
140°
46°
52°
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$证明：∵四边形ABCD是正方形$
$∴BA=BC，∠ABC=90°$
$∴∠ABP+∠CBP=90°$
$∵BE⊥PB$
$∴∠PBE=90°$
$∴∠ABP+∠ABE=90°$
$∴∠ABE=∠CBP$
$∵四边形ABCP 是圆的内接四边形$
$∴∠BAP+∠BCP=180°$
$∵∠BAP+∠BAE=180°$
$∴∠BAE = ∠BCP$
$在△ABE 和 △CBP 中$
$\begin{cases}{∠ABE=∠CBP}\\{BA=BC}\\{∠BAE=∠BCP}\end{cases}$
$∴△ABE≌△CBP$
$∴EA=PC，BE=BP$
$∴PA+PC=PA+EA$
$=PE= \sqrt{BP²+BE²}= \sqrt{2}BE$
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